Coq nat類型檢查比賽

Question

Theorem nzgtz : ~ 0 > 0.
Proof.
unfold not.
unfold gt.
unfold lt.
intros H.
inversion H.
Qed.

Print nzgtz.

Definition pred1 (n : nat) : n > 0 -> nat :=
  match n with
 | O => fun pf => match (nzgtz pf) with end
 | S n' => fun _ => n'
 end.

我對帶有O的第一個分支如何返回類型(0 > 0) -> nat的函數感到困惑。 問題是：如何將match False with end nat match False with end ？ 似乎沒有返回值？ 這種表達是什么意思？

Answer 1

我不是專家。 但是從功能的角度來看， pred1的返回值是一個返回 nat的函數 ，而不是一個nat 。 對於任何輸入n ，結果函數都會將n > 0的證明pf轉換為nat 。

函數不需要（或不能）對不存在的參數返回任何值。 在極端情況下，當函數的域為空時，共域也為（或可以視為）空。

這就是為什么當pf為False （這是一個空類型）時，該函數無法返回任何特定的nat值，並且它什么也不返回的原因。

從語法上講，如果將函數的簡化版本與從nat到nat的簡化版本進行比較：

Definition p : False -> nat :=
 fun pf => match pf with end.

Definition p1 : nat -> nat :=
 fun pf => match pf with 
   | 0 => 0
   | S p => p
end.

與p1的兩個分支/構造函數相比， p中False的證明pf沒有match with構造函數（0個分支）。

出於同樣的理由，你可以使用的證明False以（ 空洞地 ）證明什么。

Answer 2

match X with end是為了排除不可能的情況。 確實，讀取pred1函數的零分支的典型方法是“這種情況是不可能的”。

因此，不可能的情況不需要返回值。

ps：請注意，我無法設想一個pred1 ，其中pred1會很有用。