在 Coq 中，為什么 `nat` 是一個 `Type`，盡管它實際上是一個 `Set`？

Question

Check nat. (* => Set *)

但是我能夠將nat傳遞給采用Type參數的函數，即使Set和Type不相同。 話雖這么說， Type顯然不僅僅是包羅萬象——例如，嘗試將文字5 （類型為nat的值）傳遞給采用Type為參數的 function 會導致錯誤。

那么，為什么Set類型的對象在它期望Type的地方被允許，而nat類型的值卻不允許呢？

Answer 1

類型是對象的集合，它們的行為都相似。 務實地使用它以確保正確使用功能。 例如，如果您說 function 將一個自然數作為輸入，那么您希望它在接收1作為輸入以及接收3作為輸入時都能正常工作。 在這方面， 1和3表現相似。

現在， nat是集合的名稱。 它與數字1或3非常不同，你不同意嗎？ 這就是為什么您不能將1或3作為 arguments 傳遞給接受nat作為參數的 function 的原因。

但是nat的類型是什么？ 好吧， nat是一種類型，所以人們會期望寫成nat: Type來准確地說，但有一個微妙之處。 它來自於Type本身應該有一個類型這一事實。

在 Coq 中，有一個幾乎不可見的對象序列，名為Type_0 Type_1 ，例如Type_0: Type_1 、 Type_1: Type_2等，具有子類型化規則，因此x: Type_i足以同時具有x: Type_(i+1) ，並且從技術上講， Set只是Type_0的另一個名稱。 換句話說， Set是其元素本身不是類型的所有類型的類型。

每個 object 類型Set也有類型Type_i 。

默認情況下， Type_i的索引i是不打印的，所以有時會有點混亂。

Answer 2

粗略地說， Set是 Type 的子Type ，因此每個作為Set的T都可以在需要Type的地方使用。

您可能也對這個答案感興趣，它討論了Set和Type之間的區別。