Coq：Prop與類型中的設置（n）

Question

我想考慮以下三個（相關的？）Coq定義。

Inductive nat1: Prop :=
  | z1 : nat1
  | s1 : nat1 -> nat1.

Inductive nat2 : Set := 
  | z2 : nat2
  | s2 : nat2 -> nat2.

Inductive nat3 : Type :=
  | z3 : nat3
  | s3 : nat3 -> nat3.

這三種類型都給出了歸納原則來證明一個命題。

nat1_ind
     : forall P : Prop, P -> (nat1 -> P -> P) -> nat1 -> P

nat2_ind
     : forall P : nat2 -> Prop,
       P z2 -> (forall n : nat2, P n -> P (s2 n)) -> forall n : nat2, P n

nat3_ind
     : forall P : nat3 -> Prop,
       P z3 -> (forall n : nat3, P n -> P (s3 n)) -> forall n : nat3, P n

set和type版本還包含set和type定義的歸納原則（分別為rec和rect）。 這是我對Prop和Set之間差異的了解程度; Prop的誘導較弱。

我還讀到，雖然Set是預測性的，但Prop是不可預測的，但這似乎是屬性而不是定義的質量。

雖然Set和Prop之間的一些實際（道德？）差異是明確的，但Set和Prop之間的確切定義差異以及它們適合類型范圍的位置尚不清楚（運行檢查Prop和Set給出類型（*（設置）+ 1 *）），我不確定如何解釋這個...

Answer 1

Type : Type不一致。

具有排除中間的Impredicative Set意味着證明不相關，因此具有證明相關性的impredicative Set ，例如true <> false ，駁斥被排除的中間，這是直覺主義不應該做的。

因此，我們在Prop留下了不可信度，而類型層次結構的其余部分給我們帶來了困境。

順便說說，

forall P : nat1 -> Prop, P z1 -> (forall n : nat1, P n -> P (s1 n)) -> forall n : nat1, P n

是可證明的。 不要問我Coq的好處是什么才能自動證明其他較弱的感應原理......

另外，你讀過CPDT的這一章嗎？

Answer 2

請在一小時內閱讀此內容。 這是因為Coq將假設同一Prop的兩個證明對象相等。 這是一個公理，被稱為證明不相關。

https://coq.inria.fr/library/Coq.Logic.ProofIrrelevance.html

它只是認為關於Prop （這里是P ）的謂詞並不需要將一些證據作為其論證（或假設）傳遞並將其刪除。

考慮一下。 因為每個nat1是相同的，每當我們嘗試證明某些屬性P ，我們可以只抽象一些nat1 ，同時使用公理將其重寫為必需的屬性。 因此，Coq產生了感應原理的“簡化”版本。

要生成“完整”版本，您可以使用

Scheme nat1_ind_full := Induction for nat1 Sort Prop.

REF。 Prop和Type的不同歸納原則