Coq：Prop与类型中的设置（n）

Question

我想考虑以下三个（相关的？）Coq定义。

Inductive nat1: Prop :=
  | z1 : nat1
  | s1 : nat1 -> nat1.

Inductive nat2 : Set := 
  | z2 : nat2
  | s2 : nat2 -> nat2.

Inductive nat3 : Type :=
  | z3 : nat3
  | s3 : nat3 -> nat3.

这三种类型都给出了归纳原则来证明一个命题。

nat1_ind
     : forall P : Prop, P -> (nat1 -> P -> P) -> nat1 -> P

nat2_ind
     : forall P : nat2 -> Prop,
       P z2 -> (forall n : nat2, P n -> P (s2 n)) -> forall n : nat2, P n

nat3_ind
     : forall P : nat3 -> Prop,
       P z3 -> (forall n : nat3, P n -> P (s3 n)) -> forall n : nat3, P n

set和type版本还包含set和type定义的归纳原则（分别为rec和rect）。 这是我对Prop和Set之间差异的了解程度; Prop的诱导较弱。

我还读到，虽然Set是预测性的，但Prop是不可预测的，但这似乎是属性而不是定义的质量。

虽然Set和Prop之间的一些实际（道德？）差异是明确的，但Set和Prop之间的确切定义差异以及它们适合类型范围的位置尚不清楚（运行检查Prop和Set给出类型（*（设置）+ 1 *）），我不确定如何解释这个...

Answer 1

Type : Type不一致。

具有排除中间的Impredicative Set意味着证明不相关，因此具有证明相关性的impredicative Set ，例如true <> false ，驳斥被排除的中间，这是直觉主义不应该做的。

因此，我们在Prop留下了不可信度，而类型层次结构的其余部分给我们带来了困境。

顺便说说，

forall P : nat1 -> Prop, P z1 -> (forall n : nat1, P n -> P (s1 n)) -> forall n : nat1, P n

是可证明的。 不要问我Coq的好处是什么才能自动证明其他较弱的感应原理......

另外，你读过CPDT的这一章吗？

Answer 2

请在一小时内阅读此内容。 这是因为Coq将假设同一Prop的两个证明对象相等。 这是一个公理，被称为证明不相关。

https://coq.inria.fr/library/Coq.Logic.ProofIrrelevance.html

它只是认为关于Prop （这里是P ）的谓词并不需要将一些证据作为其论证（或假设）传递并将其删除。

考虑一下。 因为每个nat1是相同的，每当我们尝试证明某些属性P ，我们可以只抽象一些nat1 ，同时使用公理将其重写为必需的属性。 因此，Coq产生了感应原理的“简化”版本。

要生成“完整”版本，您可以使用

Scheme nat1_ind_full := Induction for nat1 Sort Prop.

REF。 Prop和Type的不同归纳原则