你如何阅读 coq 量词`forall P: Set -> Prop`？

Question

我是 Coq 的新手，正在阅读 Mike Nahas 的教程： nahas_tutorial.v 。 具体来说，我无法理解下面给出的陈述：

Theorem forall_exists : (forall P : Set -> Prop,  (forall x, ~(P x)) -> ~(exists x, P x)).

以上是我目前的解读，欢迎指正。

语句Set -> Prop是一个可以扩展为forall s: Set, Prop的命题，我将其理解为“对于Set的每个证明（读取实例），我们也有一个Prop的证明（实例）”。

因此forall P: Set -> Prop可以粗略地理解为“对于每个证明一个集合产生一个命题”。

然后对于(forall x, ~(P x)) ，我的猜测是x被 Coq 推断为Set类型，并且它被解读为“每个集合都会产生一个不可证明/错误的命题”。

对于~(exists x, P x) ，我读到因为不存在暗示 P 下存在真命题的集合。

这些似乎在逻辑上是等价的。 我只是在语言上挣扎。 P可以解释为从集合空间映射到命题空间的 function 吗？ 我使用了“产生”和“暗示存在”这样的短语； 这个对吗？ 有没有更正确的方法来 state 这个？

感谢您的任何帮助！

编辑：对于任何有类似问题的人，我的困惑主要是对 Curry-Howard 同构的无知。

我的解释（也许仍然有点摇摆不定）现在定理读作“对于每个谓词（布尔值函数） P范围内的Set类型的元素，如果P下的每个集合的图像都是假的，那么没有集合P产生True 。”

Answer 1

Set -> Prop属于Type ，而不是Prop 。 当你在Type时， X -> Y应该被读作从X到Y的 function ，当你在Prop时，它应该被读作X暗示Y （尽管 Curry-Howard 这些是相同的）。

当 function 返回Prop时，它通常被视为谓词或属性。 所以forall P: Set -> Prop可以读作“对于每个Set值的属性......”