你如何閱讀 coq 量詞`forall P: Set -> Prop`？

Question

我是 Coq 的新手，正在閱讀 Mike Nahas 的教程： nahas_tutorial.v 。 具體來說，我無法理解下面給出的陳述：

Theorem forall_exists : (forall P : Set -> Prop,  (forall x, ~(P x)) -> ~(exists x, P x)).

以上是我目前的解讀，歡迎指正。

語句Set -> Prop是一個可以擴展為forall s: Set, Prop的命題，我將其理解為“對於Set的每個證明（讀取實例），我們也有一個Prop的證明（實例）”。

因此forall P: Set -> Prop可以粗略地理解為“對於每個證明一個集合產生一個命題”。

然后對於(forall x, ~(P x)) ，我的猜測是x被 Coq 推斷為Set類型，並且它被解讀為“每個集合都會產生一個不可證明/錯誤的命題”。

對於~(exists x, P x) ，我讀到因為不存在暗示 P 下存在真命題的集合。

這些似乎在邏輯上是等價的。 我只是在語言上掙扎。 P可以解釋為從集合空間映射到命題空間的 function 嗎？ 我使用了“產生”和“暗示存在”這樣的短語； 這個對嗎？ 有沒有更正確的方法來 state 這個？

感謝您的任何幫助！

編輯：對於任何有類似問題的人，我的困惑主要是對 Curry-Howard 同構的無知。

我的解釋（也許仍然有點搖擺不定）現在定理讀作“對於每個謂詞（布爾值函數） P范圍內的Set類型的元素，如果P下的每個集合的圖像都是假的，那么沒有集合P產生True 。”

Answer 1

Set -> Prop屬於Type ，而不是Prop 。 當你在Type時， X -> Y應該被讀作從X到Y的 function ，當你在Prop時，它應該被讀作X暗示Y （盡管 Curry-Howard 這些是相同的）。

當 function 返回Prop時，它通常被視為謂詞或屬性。 所以forall P: Set -> Prop可以讀作“對於每個Set值的屬性......”