如何在 coq 中定義自定義歸納原則？

Question

這是對我之前提出的問題的跟進，但現在我只是想為相等類型實現我自己的歸納原則，如果沒有某種模式匹配，我不知道該怎么做。 我避免在下面的定義中使用歸納策略，因為這顯然會導致一種雞與蛋的難題。 除了indction 以及通過 vanilla Definition J2:=... 之外的一些基本策略是否有任何可能的方法來做到這一點？

(* define a similair induction principle from this agda code*)
J2 : {A : Set} → (D : (x y : A) → (I A x y) →  Set)
  →  (d : (a : A) → (D a a r )) → (x y : A) → (p : I A x y) → D x y p
J2 D d x .x r = d x

Theorem J2 {A} :
  forall (D : forall (x y : A), Id A x y -> Prop), 
  forall (d : forall (a : A), (D a a (refl A a))),
  forall (x y : A) (p : Id A x y), D x y p.
Proof.
  intros.
  inversion p.
  subst.
  apply D y.

這會產生以下錯誤，我不確定如何表明 p 必須是沒有歸納策略的 refl 。

1 subgoal (ID 34)

  A : Type
  D : forall x y : A, Id A x y -> Prop
  d : forall a : A, D a a (refl A a)
  y : A
  p : Id A y y
  ============================
  D y y p

這會產生以下錯誤。

Error:
In environment
A : Type
D : forall x y : A, Id A x y -> Prop
d : forall a : A, D a a (refl A a)
y : A
p : Id A y y
Unable to unify "D y y (refl A y)" with "D y y p".

最后，一個有點伴隨的錯誤，當我嘗試apply d in y我收到以下錯誤。

Error:
Unable to apply lemma of type "forall a : A, D a a (refl A a)"
on hypothesis of type "A".

為什么類型檢查器不高興？

Answer 1

使用destruct p代替inversion p ，它以直接的方式進行模式匹配。

inversion僅適用於目標中未使用證明術語的假設。 這里p用於目標。

Answer 2

除了 indction 以及通過 vanilla Definition J2:=... 之外的一些基本策略是否有任何可能的方法來做到這一點？

讓我回答你問題的第二部分：

Inductive Id (A : Type) (x : A) : A -> Type :=
  | refl : Id A x x.

Definition J2 {A} :
  forall
    (D : forall (x y : A), Id A x y -> Prop)
    (d : forall (a : A), (D a a (refl A a)))
    (x y : A) (p : Id A x y),
    D x y p
:=
  fun D d x y p =>
    match p in Id _ _ y
            return D x y p
    with
    | refl _ _ => d x
    end.