證明Coq中nat的高斯定理

Question

我想證明高斯定理nat 。

用簡單的（非精確的）語言說：如果a除以b*c ，而a的因子都不在b那么它們必須全部在c 。

Require Import NPeano. 
Theorem Gauss_nat: forall (a b c:nat), gcd a b = 1 -> (a | (b*c)) -> (a | c).

該定理已經為整數Z定義，請參見Coq手冊中的此處 。 但我需要它nat 。 到目前為止，我得到的建議是使用Bezout引理，即

Lemma Bezout: forall (a b c:Z), Z.gcd a b = c -> exists u v, u*a+v*b=c.

但是，我不能直接將其用於nat因為系數u和v可能為負，因此不適用於nat 。

還有另一種證明不使用整數嗎？

編輯：

正如馬克·迪金森（Mark Dickinson）在評論中指出的那樣，定理和引理已經存在於Coq的庫中。 它們位於NPeano ，分別命名為Nat.gcd_bezout和Nat.gauss 。

Answer 1

如果您只是想獲取nat的結果，而不是真正避免使用Z ，則可以在標准庫中重用證明。 這是依靠兩個輔助引理來進行操作的示意圖：

Require Import NPeano.
Require Import ZArith.
Require Import ZArith.Znumtheory.
Require Import Omega.

Close Scope Z_scope.

Lemma Zdiv_Ndiv a b : (a | b) <-> (Z.of_nat a | Z.of_nat b)%Z.
Proof. Admitted.

Lemma Zgcd_Ngcd a b : Z.of_nat (gcd a b) = Z.gcd (Z.of_nat a) (Z.of_nat b).
Proof. Admitted.

Theorem Gauss_nat a b c : gcd a b = 1 -> (a | (b*c)) -> (a | c).
Proof.
rewrite Zdiv_Ndiv, Zdiv_Ndiv, Nat2Z.inj_mul.
intros H1 H2.
assert (H3 : Z.of_nat (gcd a b) = 1%Z) by (rewrite H1; reflexivity).
rewrite Zgcd_Ngcd in H3.
apply (Gauss _ _ _ H2).
now rewrite <- Zgcd_1_rel_prime.
Qed.