R中的3参数非线性方程拟合

Question

我试图在 R 中找到一种方法，它允许一般方程 a*b^x + c 的参数（a、b、c）提供最适合 3 个约束随机坐标/点（p1、p2、p3 - 坐标分别为 x1/y1、x2/y2 和 x3/y3）。

这些坐标的约束是：

• x1 和 y3 都等于 0
• x3 和 y1 都是随机抽取的，并且都小于 1
• x2 被分配了一个小于 x3 的随机值
• y2 被分配了一个小于 y1 的随机值

我想找到一种能够为 a、b 和 c 生成值的方法，它生成一条接近 p1、p2 和 p3 的线。 这只是使用 desmos（示例参见此处 - https://www.desmos.com/calculator/4lmgazmrko ），但我无法在 R 中找到解决方案。我尝试了以下方法：

x <- c(0, 0.7, 0.9)
y <- c(0.9, 0.8, 0)
df_test <- as.data.frame(cbind(x, y))

predict_y_nonlinearly <- function(beta, x){
  beta[1]*(beta[2]^x) + beta[3]
}

a_nonlinearmodel <- function(beta, x, y){
  y_hat <- predict_y_nonlinearly(beta, x)
  sum((y-y_hat)^2)
}

beta <- optim(rnorm(3), a_nonlinearmodel, method = "SANN",
              y = df_test$y, x = df_test$x)$par

predict_y_nonlinearly(beta, df_test$x)

但是优化 function 似乎陷入了局部最小值，并且很少产生正确的解决方案（即使使用不同的“方法”设置）。 我知道 nls function，但这需要选择起始值——我更喜欢在这个阶段不需要手动输入的方法（因为 desmos 方法能够实现）。

谢谢

Answer 1

给定两个零约束，我们可以通过分析将其简化为单参数问题：

x1 = 0 → y1 = a + c → c = y1-a
y3 = 0 → 0 = a*b^x3 + (y1-a)
→ a*(b^x3 - 1) = -y1
→ a = y1/(1-b^x3)

所以我们有一个预测y的单参数 function，包含x1 = y3 = 0约束：

predfun <- function(b = 1, x, y)  {
  a <- y[1]/(1-b^x[3])
  c <- y[1] - a
  a*b^x +c
}

平方和目标 function：

target <- Vectorize(function(b) sum((y - predfun(b, x, y))^2))

可视化：

curve(target, from = -10000, to = 100000, log = "y")

现在使用optimize()进行一维优化（我们仍然需要指定一个起始区间，虽然不是一个具体的起始点）。

optimize(target, c(-10000, 1000000))

结果：

$minimum
[1] 58928.93

$objective
[1] 2.066598e-20