使用主定理解决分而治之的递归问题

Question

T(n) = 3T(n/2) + c T(1)=0 可以用主定理求解吗？ 如果是的话，我现在正在努力理解主定理，有人能告诉我它属于哪种情况以及为什么。

Answer 1

主定理有不同的可能方法。 我喜欢 Cormen 等人提出的那个。 在他们的《算法导论》一书中。

1. 如果 f(n) = O(n^(log b (ae))) 对于某个常数 e>0，则T(n) = Θ(n^(log b (a)))
2. 如果f(n) = Θ(n^(log b (a)))，则T(n) = Θ(n^(log b (a)).lg n)
3. 如果 f(n) = Ω(n^(log b (a+e))) 对于某个常数 e>0，如果 af(n/b) < c.f(n) 对于某个常数 c<1 和所有n 足够大，则T(n) = Θ(f(n))

现在我们需要比较f(n)和n^(log b (a)) 。

• 如果f(n)多项式小于n^(log b (a)) ，则属于第一种情况
• 如果n^(log b (a))在多项式上小于f(n) ，则属于第三种情况
• 如果f(n)和n^(log b (a))大小相同，则属于第二种情况

请注意，这三种情况并未涵盖 f(n) 的所有可能性。 当 f(n) 小于n^(log b (a))但不是多项式更小时，情况 1 和情况 2 之间存在差距。 类似地，当 f(n) 大于n^(log b (a))但不是多项式更大时，情况 2 和情况 3 之间存在差距。 如果 function f(n) 落入其中之一，或者情况 3 中的正则性条件不成立，则无法使用 master 方法求解递归。

现在要解决有问题的复发......

a=3, b=2, f(n) = c = n^0

所以我们有 n^(log2(3)) ≈ n^(1.58) 多项式大于 n^0，属于第一种情况。 那么时间复杂度就是T(n) = Θ(n^(log b (a))) --> T(n) = Θ(n^1.58)