使用主定理解決分而治之的遞歸問題

Question

T(n) = 3T(n/2) + c T(1)=0 可以用主定理求解嗎？ 如果是的話，我現在正在努力理解主定理，有人能告訴我它屬於哪種情況以及為什么。

Answer 1

主定理有不同的可能方法。 我喜歡 Cormen 等人提出的那個。 在他們的《算法導論》一書中。

1. 如果 f(n) = O(n^(log b (ae))) 對於某個常數 e>0，則T(n) = Θ(n^(log b (a)))
2. 如果f(n) = Θ(n^(log b (a)))，則T(n) = Θ(n^(log b (a)).lg n)
3. 如果 f(n) = Ω(n^(log b (a+e))) 對於某個常數 e>0，如果 af(n/b) < c.f(n) 對於某個常數 c<1 和所有n 足夠大，則T(n) = Θ(f(n))

現在我們需要比較f(n)和n^(log b (a)) 。

• 如果f(n)多項式小於n^(log b (a)) ，則屬於第一種情況
• 如果n^(log b (a))在多項式上小於f(n) ，則屬於第三種情況
• 如果f(n)和n^(log b (a))大小相同，則屬於第二種情況

請注意，這三種情況並未涵蓋 f(n) 的所有可能性。 當 f(n) 小於n^(log b (a))但不是多項式更小時，情況 1 和情況 2 之間存在差距。 類似地，當 f(n) 大於n^(log b (a))但不是多項式更大時，情況 2 和情況 3 之間存在差距。 如果 function f(n) 落入其中之一，或者情況 3 中的正則性條件不成立，則無法使用 master 方法求解遞歸。

現在要解決有問題的復發......

a=3, b=2, f(n) = c = n^0

所以我們有 n^(log2(3)) ≈ n^(1.58) 多項式大於 n^0，屬於第一種情況。 那么時間復雜度就是T(n) = Θ(n^(log b (a))) --> T(n) = Θ(n^1.58)