當主定理不適用時如何求解遞歸關系

Question

如何在數學上解決以下形式的遞歸關系：

1. T(n)=(2^n)T(n/2) + n^n
2. T(n)=4T(n/2) + n^(2)/logn

有解決這些問題的通用方法嗎？

我意識到主定理不適用於這些 forms，因為在 1 中，2^n 不是常數，並且 2 不屬於主定理的 3 種情況中的任何一種。

Answer 1

選擇一個路徑基作為 n = 2^m 我們有遞歸

T(2^m) = 2^(2^m)T(2^(m-1)) + (2^m)^(2^m)

現在調用 TT(.) = T(2^(.)) 我們跟隨

TT(m) = 2^(2^m)TT(m-1) + (2^m)^(2^m)

這是一個很容易解決的線性遞歸

TT(m) = 4^(2^m-2)(c0 + 總和[2^(4-2^(k+2))*(2^(k+1))^(2^(k+1 )),(k,0,m-1)])

現在用 m = log(2,n) 倒退，我們得到

T(n) = 4^(n-2)(c0 + 總和[2^(4-2^(k+2))*(2^(k+1))^(2^(k+1)) ,(k,0,log(2,n)-1)])

或者

T(n) = 4^(n-2)c0 + n^n + 2^(n/2)n^(n/2) +... +

第二次重復可以按照相同的過程解決。