怎樣做復發關系？

Question

n因此，一天前我們被告知復發關系，並且我們得到了一些練習代碼：

int pow(int base, int n){

if (n == 0)

  return 1;

else if (n == 1)

  return base;

else if(n%2 == 0)

  return pow(base*base, n/2);

else

 return base * pow(base*base, n/2);

}

我要獲得其閉合形式的最遠距離是T（n）= T（n / 2 ^ k）+ 7k。 我不確定該如何走下去，因為提供給我們的示例很簡單，並沒有太大幫助。 您實際上如何解決此代碼的重復關系？

Answer 1

讓我們只計算對pow的調用中的乘數，表示為M(N) ，前提是它們支配了成本（現今是非常無效的假設）。

通過檢查代碼，我們看到：

M(0) = 0 （對於N = 0，不乘）

M(1) = 0 （對於N = 1不乘）

M(N) ，N> 1，N偶數= M(N/2) + 1 （對於偶數N，一乘后遞歸調用）

M(N) ，N> 1，N奇數= M(N/2) + 2 （對於奇數N，在一個乘法之后遞歸調用，然后進行第二個乘法）。

由於它處理偶數和奇數整數的事實使這種重復變得有些復雜。 我們將通過僅考慮偶數或奇數序列來解決此問題。

讓我們首先處理N是2的冪的情況。如果迭代公式，則得到M(N) = M(N/2) + 1 = M(N/4) + 2 = M(N/8) + 3 = M(N/16) + 4 。 我們很容易發現模式M(N) = M(N/2^k) + k ，因此解M(2^n) = n隨之而來。 我們可以寫成M(N) = Lg(N) （以2為底的對數）。

同樣， N = 2^n-1在除以2后將始終產生奇數。我們有M(2^n-1) = M(2^(n-1)-1) + 2 = M(2^(n-2)-1) + 4... = 2(n-1) 。 或M(N) = 2 Lg(N+1) - 2 。

一般N的確切解可以相當復雜，但是我們可以看到Lg(N) <= M(N) <= 2 Lg(N+1) - 2 。 因此M(N)是O(Log(N)) 。