遞歸關系，分析算法

Question

好吧，我很難完全理解遞歸關系。

因此，例如，如果我在最壞的情況下使用Θ符號分析快速排序，請為數組輸入未排序的正數；

當基本情況n <= 3時，我使用插入排序對小數組進行排序。 時間：O（1）或O（n ^ 2）？

我使用線性搜索將樞軸設置為所有元素的中位數。 時間：Θ（n）

對樞軸的左右分區並執行遞歸。 時間：我認為2 * T（n / 2）

遞歸是否為：T（n）= O（1）+Θ（n）+ 2 * T（n / 2）那么？

有人告訴我，基本情況將花費O（n ^ 2）時間，因為如果輸入足夠小，那將是最壞的情況。 那會給我遞歸嗎：T（n）= O（n ^ 2）+Θ（n）+ 2 * T（n / 2）？

Answer 1

1. 當基本情況n <= 3時，我使用插入排序對小數組進行排序。
   • 總是O（1）
2. 我使用線性搜索將樞軸設置為所有元素的中位數。
   • 您可能需要進一步說明這一點，要找到中位數作為樞軸，並不是進行線性搜索的簡單任務。 幾種方法是：i）使用快速選擇算法 （平均值O（N））或ii）對子分區 O（NlogN）進行排序 iii） 中位數算法 O（N）。
3. 對樞軸的左右分區並執行遞歸。
   • 2F（N / 2）+ N

將它們放在一起（假設樞軸始終是中位數，並且每次用O（N）來找到樞軸）：

Best_Case = Worst_Case（因為樞軸始終為中間值）

F(3) = F(2) = F(1) = 1

F(n) = 2F(N/2) + 2N 
= 2(2F(N/2^2) + 2(N/2)) + 2N 
= 2(2)F(N/2^2) + 2N + 2N
= 2(3)F(N/2^3) + 3(2)N
= 2(LogN)F(N/N) + (2N)LogN
= O(NlogN)