從段落中導出遞歸關系

Question

我最近重新開始學習離散數學。 我在大學里上了一門課程，遇到了麻煩，尤其是從單詞問題中得出遞歸關系時，我很難再掌握一遍了。 我很樂意為您提供一些技巧。

例如 （我從家庭作業問題中更改了數字，所以如果這不起作用，請告訴我）：如果讓讓將大小為n的輸入划分為三個子集，每個子​​集的大小為n / 5，並將它們組合成theta（n ）時間，什么是運行時間？ 我得到了3T（n / 5）+ theta（n）作為遞歸關系，但我不知道運行時是什么，我覺得它們都不正確。

我發現此站點（ https://users.cs.duke.edu/~ola/ap/recurrence.html ）有助於將遞歸關系分解為可靠的運行時，但是我仍然不知道如何獲得首先是來自問題一詞的遞歸關系。 謝謝！

Answer 1

可以將問題視為樹形結構，每個級別上都有節點。每個節點將包含一個數量，該大小與您在特定時間要處理的問題的大小有關，並且在每個級別上都有一些節點。 這個數字可能是1,2，........在每個級別上最多n個節點。

現在從頂層開始。 您將有1個節點，其中的值為'n'（因為在開始時，我們將要處理'n'個元素）。

現在下降到第二級。 在上面的問題中，說在任何時間點將問題（元素）分為三部分，因此級別2上的節點數將為3。每個節點中的值為'n / 5'（因為問題是說每個節點的大小子集是父節點上存在的元素數除以5）。樹看起來像：-

         (n)
     |     |     |
    (n/5)(n/5) (n/5)

現在進一步下降到第三層，樹看起來像

                             (n)                                 level(1)
           |                  |                 |
        (n/5)               (n/5)             (n/5)              level(2)
      |   |   |          |    |    |      |     |     |
  (n/25)(n/25)(n/25) (n/25)(n/25)(n/25) (n/25)(n/25)(n/25)       level(3)

您將繼續進行到最后一個僅包含1個元素的級別，並且節點總數為'n'。

因此，如果您需要編寫遞歸，請參閱級別1和級別2。

Time taken to solve problem with 'n1' element is written as T(n1).
Time taken to solve problem with 'n2' element is written as T(n2).

Now number of elements in level 1 is n1=n

(Time taken to solve problem on first level)=(Time taken to solve 1st 
node of level 2)+(Time taken to solve 2nd node of level 2)+(Time taken 
to solve last node of level 2) + (It also takes time to combine these 
three nodes given in question i.e.  theta(number of total elements(n))

T(n)=T(n/5)+T(n/5)+T(n/5)+theta(n)
=>T(n)=3T(n/5)+theta(n)