遞歸關系：證明（n / 2）+（n / 2）= O（n）

Question

所以說我有一個像這樣的算法：

void dummy_algorithm(int a[]) {
   int center = floor(a.length/2);
   //For reference purposes: Loop 1  
   for(int i = 0; i < center; i++) {
       //The best code you've ever seen
   }
   //Loop 2
   for(int j = center + 1; j < a.length; j++) {
      //Slightly less awesome code
   }
}

這是非常基本的東西。 我知道兩個循環都遍歷數組的一半，因此每個循環的復雜度為（n / 2）。 但是，該方法的總工作量顯然為O（n）。

所以，我的問題是：如何證明（通過遞歸關系）該算法為O（n）？ 還是我完全錯了？

注意：我無法將兩個循環合而為一。 它們執行最終將被遞歸調用的操作。 您無法想到的任何其他內容。 這個問題有很多限制。

Answer 1

如果您確實在尋找O（x）+ O（y）= O（x + y）的證明，那么可以遵循以下原則：

R1∈O（x）∧R2∈O（y）
⇒∃ R1 <軸b。 R2 <by
⇒∃a，b。 R1 <斧∧R2 <由
⇒∃a，b。 R1 + R2 <軸+通過
⇒∃a，b。 c = max（a，b）∧R1 + R2 <cx + cy
⇒∃c。 R1 + R2 <c（x + y）
⇒R1 + R2∈O（x + y）

Answer 2

  (N/2) + (N/2)
= 2*(N/2)
= 2N/2
= N

Answer 3

時間復雜度（以及是否需要遞歸關系） 取決於您在循環中執行的操作 ，即

//The best code you've ever seen (*complexity1*)

和

 //Slightly less awesome code (*complexity2*)

是。

如果每個迭代僅需要恆定的時間量 ，即O（1）中的complex1和complex2 ，則總復雜度將為n * O（1）= O（n）。 這說明什么大O表示法確實：抽象從持續性因素，如complexity1和complexity2了。

如果每次迭代都需要O（f（n）） ，那么您的總時間復雜度將為O（n * f（n））。

如果每次迭代都進行遞歸調用 ，即使用較小的參數調用dummy_algorithm ，則確實需要一個遞歸關系來計算時間復雜度。 遞歸關系的外觀取決於您進行遞歸調用的頻率和參數。 http://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation向您展示如何查找和解決適當的重復關系。