递归关系：证明（n / 2）+（n / 2）= O（n）

Question

所以说我有一个像这样的算法：

void dummy_algorithm(int a[]) {
   int center = floor(a.length/2);
   //For reference purposes: Loop 1  
   for(int i = 0; i < center; i++) {
       //The best code you've ever seen
   }
   //Loop 2
   for(int j = center + 1; j < a.length; j++) {
      //Slightly less awesome code
   }
}

这是非常基本的东西。 我知道两个循环都遍历数组的一半，因此每个循环的复杂度为（n / 2）。 但是，该方法的总工作量显然为O（n）。

所以，我的问题是：如何证明（通过递归关系）该算法为O（n）？ 还是我完全错了？

注意：我无法将两个循环合而为一。 它们执行最终将被递归调用的操作。 您无法想到的任何其他内容。 这个问题有很多限制。

Answer 1

如果您确实在寻找O（x）+ O（y）= O（x + y）的证明，那么可以遵循以下原则：

R1∈O（x）∧R2∈O（y）
⇒∃ R1 <轴b。 R2 <by
⇒∃a，b。 R1 <斧∧R2 <由
⇒∃a，b。 R1 + R2 <轴+通过
⇒∃a，b。 c = max（a，b）∧R1 + R2 <cx + cy
⇒∃c。 R1 + R2 <c（x + y）
⇒R1 + R2∈O（x + y）

Answer 2

  (N/2) + (N/2)
= 2*(N/2)
= 2N/2
= N

Answer 3

时间复杂度（以及是否需要递归关系） 取决于您在循环中执行的操作 ，即

//The best code you've ever seen (*complexity1*)

和

 //Slightly less awesome code (*complexity2*)

是。

如果每个迭代仅需要恒定的时间量 ，即O（1）中的complex1和complex2 ，则总复杂度将为n * O（1）= O（n）。 这说明什么大O表示法确实：抽象从持续性因素，如complexity1和complexity2了。

如果每次迭代都需要O（f（n）） ，那么您的总时间复杂度将为O（n * f（n））。

如果每次迭代都进行递归调用 ，即使用较小的参数调用dummy_algorithm ，则确实需要一个递归关系来计算时间复杂度。 递归关系的外观取决于您进行递归调用的频率和参数。 http://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation向您展示如何查找和解决适当的重复关系。