显示递归关系为O（n log n）

Question

T (n) = T (xn) + T ((1 − x)n) + n = O(n log n)

其中x是0 < x < 1范围内的常数。 当x = 0.5, 0.1 and 0.001时，渐近复杂度是否相同？ 隐藏在O()表示法中的常量会发生什么。 使用替代方法。

我正在尝试使用〜第15页上的示例，但我觉得奇怪的是，在该示例中，日志从默认基础更改为基础2.我也不太明白为什么需要将其简化为如此以便删除从左侧cnlog2n，可能在第一步没有完成，左侧只有"stuff-cnlog2n<=0"然后对任何c和n 这样评价 ？

从我的尝试来看，它无法证明T(n)=O(n)

Answer 1

好吧，如果你使用Master's定理将其分解为一棵树，那么每次都会有一个恒定的“数量”来计算。 你知道这是因为x + 1 - x = 1。

因此，时间取决于树的水平，这是对数的，因为碎片每次都减少一些恒定的量。 由于每个级别都进行O（n）计算，因此总体复杂度为O（n log n）。

我希望“证明”会有点复杂。 请记住，日志的基础并不重要，它们只是一些不变因素。 请参阅对数关系。

PS：看起来像家庭作业。 自己想一想！

Answer 2

在我看来，这恰好是Quicksort中平均情况的递推方程。

您应该查看CLRS 对“平衡分区”的解释 。

Answer 3

但我觉得奇怪的是，在这个例子中，日志从默认基数变为基数2

这确实很奇怪。 简单的事实是，使用基数2证明比基础未知x更容易。 例如， log(2n) = 1+log(n) ，这更容易一些。 您不必使用base 2 ，您可以选择任何您想要的基础，或使用base x 。 为了绝对正确，归纳假设必须具有基础： T(K) <= c K log_2(K) 。 你以后不能改变IH，所以现在发生的事情在严格意义上是不正确的。 您可以自由选择任何您喜欢的IH，因此，只需选择一个使证明更容易的东西：在这种情况下，使用基数2的日志。

左侧只有“stuff-cnlog2n <= 0”，然后对任何c和n进行评估

“对任何c和n进行评估”是什么意思？ stuff-cnlog2n<=0是正确的，但是你怎么证明有一个c使它适用于所有n ？ 好的， c=2是一个很好的猜测。 为了在WolframAlpha中证明它，你需要做stuff <= 0 where c=2, n=1 OK !, stuff <=0 where c=2, n=2 OK !, stuff <= 0 where c=2, n=3 OK！...等采取n一路到无穷远。 嗯，它将花费你无限的时间来检查所有这些......解决这个问题的唯一实用方法（我现在可以想到）是简化stuff-cnlog2n<=0 。 或许你更喜欢这个论点：你的考试中没有WolframAlpha，所以你必须简化。