[英]Calculating the Recurrence Relation T(n)=T(n / [(log n)^2]) + Θ(1)
我试图解决这个问题很多小时,我认为解决方案是 O(log n/[log (log n)^2])。 但我不确定。这个解决方案正确吗?
展开方程:
T(n) = (T(n/(log^2(n)*log(n/log^2(n))^2) + Theta(1)) Theta(1) =
T(n/(log^4(n) + 4 (loglog(n))^2 - 4log(n)loglog(n)) + 2 * Theta(1)
我们知道n/(log^4(n) + 4 (log(log(n)))^2 - 4log(n)log(log(n))
n/log^4(n)
渐近地大于n/log^4(n)
。如你可以看到,每次n
除以log^2(n)
。因此,我们可以说如果我们计算n
除以log^2(n)
直到达到 1 的高度,它将是T(n)
。
因此,扩展树的高度将为k
使得
n = (log^2(n))^k = lof^2k(n) => (take a log)
log(n) = 2k log(log(n)) => k = log(n)/(2 * log(log(n)))
因此, T(n) = Omega(log(n)/log(log(n)))
。
对于上限,我们知道n/(i-th statement) < n/log^i(n)
(我们应用log(n)
而不是应用log^2(n)
log(n)
),我们可以说n
除以log(n)
的高度将是T(n)
的上限。 因此,作为:
n = log^k(n) => log(n) = k log(log(n)) => k = log(n) / log(log(n))
我们可以说T(n) = O(log(n) / log(log(n)))
。
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