展開遞歸遞歸關系

Question

我找不到我的問題的解決方案，因為通常解決方案（用大的 Os 術語）是所要求的，而不是展開的重復。 如果已經問過，請告訴我，我會刪除。

我在 uni 的算法和數據結構測試中遇到了這個問題，我一直在努力解決這個問題。 主要是因為我不明白我是如何得出正確答案的。

我有以下關系：

T(1)=2
T(n)=2T(n-1)+2 for n>=2 

答案是：

1. T(n)= 2^n+1 -2
2. T(n)= none of the answers are correct 
3. T(n)= 1/2n(n+1)-1 
4. T(n)= 2^n+1 -2-n
5. T(n)= n+ (-1)^n

這是我嘗試過的：

T(1)=2
T(n)=2T(n-1)+2 -> T(n-1) = T(n-2)+2 
    =2T(n-2)+2+2 
    =2T(n-2)+4 -> T(n-2) = T(n-3)+3 
    =2T(n-3)+2+4 
    =2T(n-3)+6 so then -> 2T(n-k)+2k and if n=k 2T(n-n)+2n -> 2T(0)+2n 

但我沒有 T(0) 案例。 此外，這種方法最終會讓我了解大 O 解決方案，盡管這不是我現在想要找到的。

有人願意向我解釋獲得正確答案的正確方法嗎？

謝謝你。

Answer 1

不要展開答案，只是檢查它們。

因此，對於每個可能的答案，請檢查是否T(1)=2 ，並且如果替換給定的T(n)是否等於T(n)=2T(n-1)+2 。 因此，對於第一個答案T(1)=2^(n+1)-2=4-2=2 （應該如此）並且：

T(n) =?= 2*T(n)+2
2^(n+1)-2 =?= 2*(2^(n)-2)+2

使用簡單的 =?= 來表示要檢查的相等性。 簡化雙方導致：

2^(n+1)-2 =?= 2*2^(n)-2

rest 我留給你

Answer 2

T(n)=2T(n-1)+2 等價於 T(n)+2 = 2(T(n-1)+2)。

所以 T(n)+2 = 2^(n-1)(T(1)+2) = 2^(n-1)*4 = 2^(n+1)。 因此 T(n) = 2^(n+1)-2。

Answer 3

這個問題類似於https://cs.stackexchange.com/questions/18900/how-do-i-show-tn-2tn-1-k-is-o2n

你可能也明白如何解決這個問題......

Answer 4

簡單的方法是注意到它是指數的，然后檢查兩個指數的答案......

但是如果你想展開它，那么你會得到：

T(n) = 2 + 2T(n-1)
     = 2 + 4 + 4T(n-2)
     = 2 + 4 + 8 + 8T(n-3)
     = 2 + 4 + 8 + ... + 2^(n-1)T(1)
     = 2 + 4 + 8 + ... + 2^n

然后你認識到進展並做：

T(n) = 2T(n) - T(n)
     = 2^(n+1) - 2