如何更好地在代碼中實現遞歸關系？

Question

我已經為這個問題苦苦掙扎了兩天了，我還是Python和更多數學密集型編碼的新手，所以請多多指教，只要指出正確的方向即可:)

所以問題是這樣的：

您有一張有效期為N天的電影通行證。 您可以使用任意方式使用它， 連續3天或更長時間除外。

因此，基本上，您可以在特定日期使用通行證，也可以選擇不使用通行證，這意味着將2個提高至N個可能性。 領取通行證的有效方法然后提高為N-2個無效案例

您必須找到有效案例數％（10 ^ 9 + 7）

我發現無效案例的遞歸關系看起來像

invalidCases（at_N）= 2 ^（n-4）+ 2 * invalidCases（at_N-1）-invalidCases（at_n-4）

所以我的第一個沖動就是簡單地使用遞歸：

def invalidCases(n):
    if(n<3):
        return 0;
    elif(n==3):
        return 1;
    else:
        return 2**(n-4)+ 2*invalidCases(n-1)- invalidCases(n-4)

效率很低，但我的公式似乎正確。 我的下一次嘗試是嘗試進行記憶，但是在N = 1006時我一直遇到錯誤。 因此，我更改了遞歸限制。

我目前的嘗試（帶有記憶和遞歸限制）

import sys
sys.setrecursionlimit(10**6)
T=int(input());
#2**(n-4) + 2*ans(n-1)-ans(n-4)
memo={0:0,1:0,2:0,3:1,4:3,5:8,6:20,7:47} #
def ans(n):
    #complete this function
    if n not in memo:

        memo[n]=(2**(n-4) + 2*ans(n-1)-ans(n-4));



    return memo[n];

modulo = 10**9 + 7;
print((2**n-ans(n))%modulo);

最后，我的問題。 我需要此代碼才能用於n = 999999。

如何將最壞的情況降到最低？ 任何指示或技巧都很好。

Answer 1

這是一個完整的解決方案，它基於以下觀察結果：三天或更長時間的有效解決方案必須從以下一項開始：

0
10
110

其中1表示當天使用了通行證，0表示未使用。

第一種形式存在有效（n-1）可能性，第二種形式存在有效（n-2）可能性，第三種形式存在有效（n-3）可能性。

然后重復是：

有效（n）=有效（n-1）+有效（n-2）+有效（n-3）

基本情況為有效（0）= 1，有效（1）= 2和有效（2）=4。必須注意，有效（0）為1，而不是零。 那是因為當n = 0時，只有一個解決方案，即空序列。 這不僅在數學上是正確的，而且還需要遞歸才能正確運行。

該代碼執行三件事以使其快速運行：

1. 如前所述，它使用緩存來緩存結果（記憶）。
2. 它不存儲全部結果，而是首先應用模數，從而大大減小了數值范圍。
3. 它從0開始預加載高速緩存，直至達到所需的值。 這樣可以將最大遞歸深度減小到一。

這是代碼：

cache = {}
modulus = 10**9 + 7

def valid(n):
    if n in cache:
        return cache[n]

    if n == 0:
        v = 1
    elif n == 1:
        v = 2
    elif n == 2:
        v = 4
    else:
        v = valid(n-1) + valid(n-2) + valid(n-3)

    v %= modulus

    cache[n] = v
    return v

def main():
    # Preload the cache
    for n in range(1000000):
        valid(n)

    print(valid(999999))

main()

這是輸出：

746580045

它在我的系統上運行不到2秒。

更新：這是一個最小的迭代解決方案，其靈感來自MFisherKDX使用的方法。 種子值的構建方式消除了特殊包裝的需要（初始v2為有效（0））：

modulus = 10**9 + 7

def valid(n):
    v0, v1, v2 = 0, 1, 1

    for i in range(n):
        v0, v1, v2 = v1, v2, (v0 + v1 + v2) % modulus

    return v2

print(valid(999999))

此解決方案可能會盡快獲得。 使用中間結果后，它會丟棄中間結果，如果您只調用一次函數，這很好。

Answer 2

這是我的答案。 自下而上的解決方案。 與湯姆自上而下且同樣有效的答案進行比較。 在第j天，它會跟蹤在第j天使用通行證的可能性的數量以及在j和j-1兩者上使用通行證的可能性的數量。

def ans(n):

    total = 1
    tcd = 0 #total used at current day
    tcpd = 0 #total used at current and previous day
    m = 1000000007

    for j in range(0, n):

        next_tot = 2*total - tcpd
        next_tcd = total - tcpd
        next_tcpd = tcd - tcpd

        total = next_tot % m

        tcd = next_tcd % m
        tcpd = next_tcpd % m

    return total

print(ans(999999))

結果是746580045 ，在我的系統上花費了400ms。