解決主定理不適用的指數規則的遞歸

Question

我正在嘗試解決以下重復問題：

$T(n) = 3T(n^{\frac{2}{3}}) + \log n$

但我不知道該怎么做，因為大師定理不適用。 我嘗試繪制遞歸樹如下：

但我不確定從那里去哪里，例如試圖找出樹的高度或最后一層中的節點數。 任何關於如何找到復發的整體大 theta 的指導將不勝感激。

Answer 1

當您擴展公式時，我們將有：

T(n) = 3 log(n^{2/3}) +‌ 3^2 log(n^((2/3)^2)) + ... + 3^k log(n^((2/3)^k)) + log(n)

在上面的等式中， k是樹的高度。 如果我們假設n = 2 ^ ((3/2)^k) ，最后我們將在n^((2/3)^k)有2 。 因此， k = log_{3/2)(log(n)) 。 此外，我們知道log(n^a) = a log(n) ：

T(n) = 2 log(n) + 2^2 log(n) + ... + 2^k log(n) + log(n) = 
         log(n) (1 + 2 + 2^2 + ... + 2^k) =
         (2^(k+1) - 1) log(n)

因此，作為2^k = O(log^2(n)) ， T(n) = O(log^2(n) * log(n)) = \\O(log^3(n)) 。