快速排序递归计数

Question

使用快速排序对 n 个元素的列表进行排序的最小递归调用数是多少。 我无法理解实际调用了多少次递归函数，特别是“最小数量”是什么意思

Answer 1

快速排序是一组算法，其中数据集通过选择枢轴值、对数据进行分区并在分区上递归直到分区大小小于 2 来排序。

简单的实现使用第一个、最后一个或中间元素作为枢轴并将数据划分为 2 个集合：

• 比较小于或等于基准的元素
• 比较大于或等于基准的元素

高效的实现使用精心设计的方法来选择枢轴值并将数据划分为 3 组：

• 比较小于枢轴的元素
• 比较等于枢轴的元素
• 比较大于枢轴的元素

他们也可能会切换到低于特定分区大小的不同算法，或者如果检测到病态分布，以避免二次时间复杂度。

对于 3 组实现，最佳情况是所有元素比较相等且不需要递归的情况。 这构成了递归调用的最小数量： 0 。

在其他情况下，递归调用的数量很大程度上取决于数据分布、枢轴选择方法和其他实现选择，例如：

• 基本情况处理：在递归之前或进入函数时测试分区长度，
• 切换到不同的算法，例如小分区的插入排序或病理分布的壳排序

平均而言，快速排序的递归调用次数约为：

• 2n如果长度测试仅在函数的开头
• n如果测试在递归之前执行
• n/t如果切换到分区长度低于阈值t的另一种算法。

请注意，递归深度是一个不同但重要的问题，可以通过结合迭代和递归，在较小的分区上递归并在较大的分区上迭代，将其限制为log ₂ (n) 。

另请注意，快速排序可以在没有递归的情况下实现，使用长度为log ₂ (n)的小数组来跟踪待处理的分区。