"R中两个向量之间的角度"

Question

编程语言R<\/a>中计算两个向量之间角度的最有效方法是什么？

"

Answer 1

根据此 PDF 的第 5 页， sum(a*b)是用于查找向量a和b的点积的 R 命令，而sqrt(sum(a * a))是用于查找向量a范数的 R 命令，而acos(x)是反余弦的 R 命令。 因此，计算两个向量之间的角度的 R 代码是

theta <- acos( sum(a*b) / ( sqrt(sum(a * a)) * sqrt(sum(b * b)) ) )

Answer 2

我的回答由两部分组成。 第 1 部分是数学 - 向线程的所有读者提供清晰的信息，并使后面的 R 代码易于理解。 第 2 部分是 R 编程。

第 1 部分 - 数学

两个向量x和y的点积可以定义为：

哪里 || × || 是向量x的欧几里得范数（也称为 L ₂范数）。

操纵点积的定义，我们可以得到：

其中 theta 是以弧度表示的向量x和y之间的角度。 请注意，theta 可以取位于从 0 到 pi 的闭区间上的值。

求解 theta 本身，我们得到：

第 2 部分 - R 代码

要将数学转化为 R 代码，我们需要知道如何执行两个矩阵（向量）计算； 点积和欧几里得范数（这是一种特定类型的范数，称为 L ₂范数）。 我们还需要知道反余弦函数 cos ^-1的 R 等价物。

从顶部开始。 通过参考?"%*%" ，可以使用%*%运算符计算点积（也称为内积）。 参考?norm ， norm()函数（基础包）返回向量的范数。 这里感兴趣的范数是 L ₂范数，或者用 R 帮助文档的说法，“谱”或“2”范数。 这意味着norm()函数的type参数应该设置为等于"2" 。 最后，R 中的反余弦函数由acos()函数表示。

解决方案

配备了数学和相关的 R 函数，原型函数（即非生产标准）可以放在一起 - 使用 Base 包函数 - 如下所示。 如果上述信息有意义，那么后面的angle()函数应该很清楚，无需进一步评论。

angle <- function(x,y){
  dot.prod <- x%*%y 
  norm.x <- norm(x,type="2")
  norm.y <- norm(y,type="2")
  theta <- acos(dot.prod / (norm.x * norm.y))
  as.numeric(theta)
}

测试功能

用于验证该功能是否有效的测试。 设x = (2,1) 和y = (1,2)。 x和y之间的点积为4 x的欧几里得范数是SQRT（5）。 y 的欧几里德范数也是 sqrt(5)。 cos theta = 4/5。 Theta 约为 0.643 弧度。

x <- as.matrix(c(2,1))
y <- as.matrix(c(1,2))
angle(t(x),y)          # Use of transpose to make vectors (matrices) conformable.
[1] 0.6435011

我希望这有帮助！

Answer 3

对于 2D 向量，在接受的答案中给出的方法和其他方法不考虑角度的方向（符号）（ angle(M,N)与angle(N,M) ）并且它返回仅适用于0和pi之间的角度的正确值。

使用atan2函数获取定向角度和正确值（模2pi ）。

angle <- function(M,N){
  acos( sum(M*N) / ( sqrt(sum(M*M)) * sqrt(sum(N*N)) ) )
}
angle2 <- function(M,N){
  atan2(N[2],N[1]) - atan2(M[2],M[1]) 
}

检查angle2给出了正确的值：

> theta <- seq(-2*pi, 2*pi, length.out=10)
> O <- c(1,0)
> test1 <- sapply(theta, function(theta) angle(M=O, N=c(cos(theta),sin(theta))))
> all.equal(test1 %% (2*pi), theta %% (2*pi))
[1] "Mean relative difference: 1"
> test2 <- sapply(theta, function(theta) angle2(M=O, N=c(cos(theta),sin(theta))))
> all.equal(test2 %% (2*pi), theta %% (2*pi))
[1] TRUE

Answer 4

您应该使用点积。 假设您有V ₁ = ( x ₁, y ₁, z ₁) 和V ₂ = ( x ₂, y ₂, z ₂)，则计算点积，我将用V ₁· V ₂ 表示作为

V ₁· V ₂ = x ₁· x ₂ + y ₁· y ₂ + z ₁· z ₂ = | V₁| · | V 2| · cos( θ );

这意味着左边显示的总和等于向量的绝对值乘以向量之间角度的余弦的乘积。 向量V ₁ 和V ₂ 的绝对值计算如下

| V₁| = √( x ₁² + y ₁² + z ₁²)，和
| V 2| = √( x 2² + y 2² + z 2²),

所以，如果你重新排列上面的第一个等式，你会得到

cos( θ ) = ( x ₁· x 2 + y ₁· y 2 + z ₁· z 2) ÷ (| V ₁|·| V 2|),

并且您只需要将反余弦函数（或反余弦）应用于 cos( θ ) 即可获得角度。

根据您的 arccos 函数，角度可能以度或弧度为单位。

（对于二维向量，只需忘记z坐标并进行相同的计算。）

祝你好运，

约翰·多纳

Answer 5

另一种解决方案：两个向量之间的相关性等于两个向量之间夹角的余弦。

所以角度可以通过acos(cor(u,v))

# example u(1,2,0) ; v(0,2,1)

cor(c(1,2),c(2,1))
theta = acos(cor(c(1,2),c(2,1)))

Answer 6

如果您安装/上传库（matlib）：有一个名为 angle(x, y, degree = TRUE) 的函数，其中 x 和 y 是向量。 注意：如果您有矩阵形式的 x 和 y，请使用 as.vector(x) 和 as.vector(y)：

library(matlib)
matA <- matrix(c(3, 1), nrow = 2)  ##column vectors
matB <- matrix(c(5, 5), nrow = 2)
angle(as.vector(matA), as.vector(matB))  
##default in degrees, use degree = FALSE for radians

Answer 7

我认为你需要的是一个内积。 对于两个向量v,u （在R^n或任何其他内积空间中） <v,u>/|v||u|= cos(alpha) 。 （ alpha是向量之间的角度）

有关更多详细信息，请参阅：

http://en.wikipedia.org/wiki/Inner_product_space

Answer 8

如果要计算多个变量之间的角度，可以使用以下函数，它是@Graeme Walsh 提供的解决方案的扩展。

angles <- function(matrix){

  ## Calculate the cross-product of the matrix
  cross.product <- t(matrix)%*%matrix

  ## the lower and the upper triangle of the cross-product is the dot products among vectors 
  dot.products<- cross.product[lower.tri(cross.product)]

  ## Calculate the L2 norms
  temp <- suppressWarnings(diag(sqrt(cross.product)))
  temp <- temp%*%t(temp)
  L2.norms <- temp[lower.tri(temp)]

  ## Arccosine values for each pair of variables
  lower.t <- acos(dot.products/L2.norms)

  ## Create an empty matrix to present the results
  result.matrix <- matrix(NA,ncol = dim(matrix)[2],nrow=dim(matrix)[2])

  ## Fill the matrix with arccosine values and assign the diagonal values as zero “0”
  result.matrix[lower.tri(result.matrix)] <- lower.t
  diag(result.matrix) <- 0
  result.matrix[upper.tri(result.matrix)] <- t(result.matrix)[upper.tri(t(result.matrix))]

  ## Get the result matrix
  return(result.matrix)
}

此外，如果您对输入变量进行均值中心化并获得上面提供的结果矩阵的余弦值，您将获得变量的精确相关矩阵。

下面是该函数的一个应用。

set.seed(123)
n <- 100
m <- 5

# Generate a set of random variables 

mt <- matrix(rnorm(n*m),nrow = n,ncol = m)

# Mean-centered matrix
mt.c <- scale(mt,scale = F)

# Cosine angles 
cosine.angles <- angles(matrix = mt)

> cosine.angles
         [,1]     [,2]     [,3]     [,4]     [,5]
[1,] 0.000000 1.630819 1.686037 1.618119 1.751859
[2,] 1.630819 0.000000 1.554695 1.523353 1.712214
[3,] 1.686037 1.554695 0.000000 1.619723 1.581786
[4,] 1.618119 1.523353 1.619723 0.000000 1.593681
[5,] 1.751859 1.712214 1.581786 1.593681 0.000000



# Centered-data cosine angles 
centered.cosine.angles <- angles(matrix = mt.c)

> centered.cosine.angles
         [,1]     [,2]     [,3]     [,4]     [,5]
[1,] 0.000000 1.620349 1.700334 1.614890 1.764721
[2,] 1.620349 0.000000 1.540213 1.526950 1.701793
[3,] 1.700334 1.540213 0.000000 1.615677 1.595647
[4,] 1.614890 1.526950 1.615677 0.000000 1.590057
[5,] 1.764721 1.701793 1.595647 1.590057 0.000000

# This will give you correlation matrix 
cos(angles(matrix = mt.c))

            [,1]        [,2]        [,3]        [,4]        [,5]
[1,]  1.00000000 -0.04953215 -0.12917601 -0.04407900 -0.19271110
[2,] -0.04953215  1.00000000  0.03057903  0.04383271 -0.13062219
[3,] -0.12917601  0.03057903  1.00000000 -0.04486571 -0.02484838
[4,] -0.04407900  0.04383271 -0.04486571  1.00000000 -0.01925986
[5,] -0.19271110 -0.13062219 -0.02484838 -0.01925986  1.00000000

# Orginal correlation matrix
cor(mt)

            [,1]        [,2]        [,3]        [,4]        [,5]
[1,]  1.00000000 -0.04953215 -0.12917601 -0.04407900 -0.19271110
[2,] -0.04953215  1.00000000  0.03057903  0.04383271 -0.13062219
[3,] -0.12917601  0.03057903  1.00000000 -0.04486571 -0.02484838
[4,] -0.04407900  0.04383271 -0.04486571  1.00000000 -0.01925986
[5,] -0.19271110 -0.13062219 -0.02484838 -0.01925986  1.00000000

# Check whether they are equal
all.equal(cos(angles(matrix = mt.c)),cor(mt))
[1] TRUE

Answer 9

获得两个向量之间角度的传统方法（即acos(sum(a*b) \/ (sqrt(sum(a*a)) * sqrt(sum(b*b))))<\/code> ，如某些其他答案）在几个极端情况下存在数值不稳定性。 以下代码适用于n<\/em>维和所有极端情况（它不检查零长度向量，但这很容易添加）。 请参阅下面的注释。

# Get angle between two n-dimensional vectors
angle_btw <- function(v1, v2) {

  signbit <- function(x) {
    x < 0
  }

  u1 <- v1 / norm(v1, "2")
  u2 <- v2 / norm(v2, "2")

  y <- u1 - u2
  x <- u1 + u2

  a0 <- 2 * atan(norm(y, "2") / norm(x, "2"))

  if (!(signbit(a0) || signbit(pi - a0))) {
    a <- a0
  } else if (signbit(a0)) {
    a <- 0.0
  } else {
    a <- pi
  }

  a
}