请建议一些算法来查找树中的节点，该节点与所有节点之间的最远节点的距离最小

Question

请建议一些算法来查找树中的节点，该节点与所有节点之间的最远节点的距离最小。

它不是图表，也没有加权。

Answer 1

在树T中选择任意节点v 。 运行BFS使v成为T的根。 BFS输出从v到T的所有其他节点的距离。

现在选择距离v最远的节点u 。 再次运行BFS使你成为root。 在新的距离输出上，找到距离u最远的节点w 。

考虑u和w之间的路径。 这是树T中最长的路径。 路径中间的节点是树T 的中心 。

请注意，树中可能存在两个中心。 如果是这样，他们就是邻居。

性能： O（n） ，其中n是T的节点数。

证明

声明 ：距离某个节点v最远的叶子（ u ）位于最长的路径上。

如果我们证明它，那么算法是正确的，因为它首先找到你 ，并且，因为它是最长路径的一端，所以使用DFS来找到这条路径本身。

索赔的证明：让我们用retucto归谬法。 假设u --- r是树中最长的路径; 而对于一些节点U既不v --- U，也不v --- r是从V的最长路径。 相反，最长的路径是v --- k 。 我们有两种情况：

a） u --- r和v - k有一个共同的节点o 。 然后v - o - u和v - o - r比u --- o --- k短。 然后o --- r比o --- k短。 然后u --- o --- r不是图中最长的路径，因为u --- o --- k更长。 这与我们的假设相矛盾。

b） u --- r和v - k没有共同的节点。 但是，由于图形是连接的，因此在每个路径上都有节点o1和o2 ，因此它们之间的路径o1-o2不包含这两个路径上的任何其他节点。 与假设的矛盾与a）中的相同，但是使用o1-o2而不仅仅是o （事实上​​， a点只是b的一个特例，其中o1 = o2 ）。

这证明了索赔，因此证明了算法的正确性。

（这是Pavel Shved写的证明，原作者可能会更短）。

Answer 2

去掉叶子。 如果剩下2个以上的节点，请重复。 剩下的节点（或2个节点）将是您要查找的节点。

为什么这样有效：

节点位于树中最长路径P的中间。 它们到任何节点的最大距离最多是路径长度的一半（否则它不会是最长的）。 P上的任何其他节点显然比找到的节点具有到P的另一端的更大距离。 不在P上的任何节点n将至少具有其最远节点（从n到P上最近节点的距离，比如c ）+（从c到P的另一端的距离），所以再次比找到的节点多通过算法。

Answer 3

您可以依次在每个节点上使用Dijkstra算法（ http://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra%27s_algorithm ）来查找从该节点到每个其他节点的所有距离; 扫描结果列表以获得到最远节点的距离。 一旦你对每个节点进行了Dijkstra，另一次扫描就会给你最小的最大距离。

Dijkstra通常被认为具有运行时O(v^2) ，其中v是节点数; 你将每个节点运行一次，这将在一个简单的实现中增加到O(v^3)的时间。 您可以通过存储早期节点的Dijkstra运行的结果并在以后的运行中将它们用作已知值来获得收益。

Answer 4

您可以将Johnson的算法用于稀疏图，但是否则使用Floyd-Warshall算法只是因为它实现起来很简单。

基本上你想要找到从每个节点到每个其他节点的距离，然后只是简单地搜索你想要的属性。

Answer 5

正如其他人在评论中所说：树是一个图 - 一个确切的无向连通非循环图 - 见“树”（图论） 。