O（log n）算法用于找到具有排序i的元素与预排序列表的并集

Question

给定两个排序列表，每个包含n个实数，是否有一个O（log n）时间算法来计算两个列表的并集中排名i的元素（其中i对应于递增顺序的索引），假设元素为这两个清单是截然不同的？

编辑：@BEN：这就是我一直在做的事情，但我仍然没有得到它。

我有一个例子;

列表A：1,3,5,7列表B：2,4,6,8

找到等级（i）= 4。

第一步：i / 2 = 2; 列表A现在包含的是A：1,3列表B现在包含的是B：2,4

         compare A[i] to B[i] i.e 

                 A[i] is less;

                 So the lists now become :

                   A: 3 
                   B: 2,4

第二步：i / 2 = 1

         List A now contains A:3
         List B now contains B:2 

         NoW I HAVE LOST THE VALUE 4 which is actually the result ...

我知道我错过了一些东西，但即使在接近一天的思考之后，我也无法想到这一点......

Answer 1

是：

您知道元素位于第一个列表的index [0,i]或第二个列表的[0,i]中。 从每个列表中取出元素i/2并进行比较。 继续进行二分法。

我没有包含任何代码，因为这个问题听起来很像家庭作业。

编辑：Bisection是二进制搜索背后的方法。 它的工作原理如下：

假设i = 10; （基于零的索引，我们正在寻找整体的第11个元素）。

在第一步，您知道答案是在list1（0 ... 10）或list2（0 ... 10）中。 取a = list1（5）和b = list2（5）。

如果a> b，则list1中有5个元素位于a之前，而list2中至少有6个元素位于a之前。 所以a是结果的上限。 同样，list2中有5个元素位于b之前，而list1中小于6个元素位于b之前。 所以b是结果的下限。 现在我们知道结果是在list1（0..5）或list2（5..10）中。 如果a <b，则结果在list1（5..10）或list2（0..5）中。 如果a == b我们有答案（但问题是元素是不同的，因此是！= b）。

我们只需重复此过程，在每一步将搜索空间的大小减半。 二分是指我们选择中间元素（平分线）超出我们知道的范围包括结果。

因此，这与二分搜索的唯一区别在于，在二进制搜索中，我们将比较我们正在寻找的值，但在这里我们将与另一个列表中的值进行比较。

注意：这实际上是O(log i) ，它比O(log n)更好（至少不差O(log n) 。 此外，对于小i（可能是i <100），实际上合并第一个i元素（线性搜索而不是二分）的操作实际上更少，因为这样更简单。 当您添加缓存行为和数据位置时，线性搜索可能会快到几千。

此外，如果i> n然后依赖于结果必须朝向任一列表的末尾的事实，则每个列表中的初始候选范围来自（（in）.. n）

Answer 2

这是你如何做到的。

让第一个列表为ListX ，第二个列表为ListY 。 我们需要找到ListX[x]和ListY[y]的正确组合，其中x + y = i 。 由于x，y，i是自然数，我们可以立即将问题域约束为x*y 。 通过使用方程max(x) = len(ListX)和max(y) = len(ListY)我们现在有一个x*y元素的子集，我们需要搜索形式[x, y] 。

你要做的是订购那些元素，如[i - max(y), max(y)] ， [i - max(y) + 1, max(y) - 1] ，...， [max(x), i - max(x)] 。 然后，您将通过选择中间[x, y]组合来平分此列表。 由于列表是有序且不同的，因此您可以测试ListX[x] < ListY[y] 。 如果为真，则我们将[x, y]组合的上半部分平分[x, y]或者如果为假，则将下半部分平分。 你会保持平分，直到找到合适的组合。

我留下了很多细节，但这是它的一般要点。 确实是O（log（n））！

编辑：正如本指出这实际上是O(log(i)) 。 如果我们让n = len(ListX) + len(ListY)那么我们知道i <= n 。

Answer 3

合并两个列表时，您将不得不触摸两个列表中的每个元素。 如果你不触及每个元素，一些元素将被遗忘。 因此，你的理论下限是O（n）。 所以你不能这样做。

您不必排序，因为您有两个已排序的列表，并且您可以将该排序维护为合并的一部分。

Answer 4

编辑：哎呀，我误读了这个问题。 我认为有价值，你想找到排名，而不是相反。 如果你想找到给定值的等级，那么这是如何在O(log N)做到的：

是的，如果列表允许O(1)随机访问（即它是一个数组而不是链表），你可以在O(log N)执行此操作。

• 在L1上进行二进制搜索
• 二进制搜索L2
• 对指数求和

你必须计算出数学，+ 1，-1，如果找不到元素该怎么办，但这就是想法。