给定一组点，找出三个点是否共线

Question

找出一组点中说n的三个点是否共线的最佳算法是什么？ 如果不是很简单，也请解释一下复杂性。

谢谢
巴拉

Answer 1

如果您能提出优于O（N ^ 2）的算法，则可以发布它！

这个问题是3-SUM Hard ，是否存在次二次算法（即优于O（N ^ 2））是一个开放问题。 许多常见的计算几何问题（包括您自己的问题）已证明是3SUM难题，并且这类问题正在不断增加。 像NP-Hardness一样，3SUM-Hardness的概念已被证明可用于证明某些问题的“韧性”。

有关您的问题很难解决3SUM的证明，请参见此处的优秀综合论文： http : //www.cs.mcgill.ca/~jking/papers/3sumhard.pdf

您的问题出现在上述论文的第3页上（通常称为3-POINTS-ON-LINE）。

因此，当前最知名的算法是O（N ^ 2），您已经拥有它:-)

Answer 2

一个简单的O（d * N ^ 2）时空算法，其中d是维数，N是点数（可能不是最优的）：

• 在这组点周围创建一个边界框（使其足够大，以便边界上没有点）
• 对于每对点，计算通过它们的线。
• 对于每条线，使用边界框计算其两个碰撞点。
• 两个碰撞点定义了原始线，因此，如果有任何匹配的线，它们也将产生相同的两个碰撞点。
• 使用哈希集确定是否有重复的碰撞点对。
• 当且仅当存在重复项时，存在3个共线点。

Answer 3

另一个不使用哈希表的简单（甚至是微不足道的）解决方案，运行时间为O（n ² log n），并使用O（n）空间：

假设S为一组点，我们将描述一种算法，该算法找出S是否包含三个共线点。

1. 对于S每个点o ：
   1. 使平行于x轴的直线L通过o 。
   2. 将S中L之下的每个点替换为其反射。 （例如，如果L是x轴，则x>0 (a,-x)将在反射后变为(a,x) ）。） 让新的点集为S'
   3. S'中每个点p的角度是线段po与直线L直角。 让我们按点S'的角度对其排序。
   4. 遍历S'的排序点。 如果有两个连续的点与o共线-返回true。
2. 如果在循环中找不到共线点，则返回false。

循环运行n次，每次迭代执行nlog n步骤。 不难证明，如果一条线上有三个点，就会找到它们，否则我们将一无所获。