给定四面体三点，求第四点

Question

如果您在3D空间中有一个等边三角形，其中所有边的长度均为1，则可以使用两个点来形成四面体。 一个漂浮在三角形的前面，另一个漂浮在三角形的后面。 给定三个已知顶点的坐标，您将如何计算可能的第四个顶点中的一个？

如果您可以显示如何使用Processing vector类定义来做到这一点，我将不胜感激

Answer 1

对三个点取平均值以得到三角形的中心：

center = (a + b + c) / 3

通过取两边的叉积来计算法向向量：

normal = (c - a) x (b - a)

标准化法线向量（使其具有单位长度）：

unit_normal = normal / |normal|

按正四面体的高度缩放法线：

scaled_normal = unit_normal * sqrt(2/3)

现在，您的两点是：

top = center + scaled_normal
bottom = center - scaled_normal

Answer 2

(a + b + c)/3 （三角形的中心）

+/- ((ab) x (bc) （三角形两侧的叉积，因此垂直于两侧）

* some constant or other) （规则四面体的高度除以该叉积的长度，长度为1 * 1 * sin（60度）= sqrt（3）/ 2）

这可能可以简化。

[编辑：高度为sqrt（2/3），因此常数为2*sqrt(2) ]

[第二编辑：不在前三个平面中的任何第四点形成一个四面体。 ITYM是规则的四面体；-)]

Answer 3

由于3D从来都不是我的兴趣，我想我只能提供一种实现此目的的方法，而不是精确的坐标。

一个点，该点与三角形的质心的距离为sqrt（2/3），且在垂直于三角形所形成的平面且包含质心的直线上。