从正则表达式生成图灵机的算法

Question

我正在开发一个软件来从正则表达式生成图灵机。

[编辑：澄清一下，OP希望将正则表达式作为输入，并以编程方式生成图灵机来执行相同的任务。 OP 正在寻求执行从正则表达式创建 TM 的任务，而不是使用正则表达式。 ]

首先我会解释一下我做了什么，然后我的具体问题是什么：

我对正则表达式建模如下：

正则表达式（接口）：下面的类实现了这个接口

简单（即：“aaa”、“bbb”、“abcde”）：这是一个叶类，它没有任何子表达式

ComplexWithoutOr (ie: "a(ab)*","(a(ab) c(b) )*")：这个类包含一个正则表达式的列表。

ComplexWithOr (ie: "a(a|b) ","(a((ab) |c(b) ) ")：这个类包含一个 Or 操作，其中包含一个正则表达式列表。它代表了“a|b " 第一个例子的一部分和第二个例子的 "(ab) |c(b) "。

变量（即：“awcw”，其中 w E {a,b}*）：尚未实现，但其想法是将其建模为具有与 Simple 不同逻辑的叶类。 它代表示例的“w”部分。

理解并同意上述模型非常重要。 如果您有任何问题，请在继续阅读之前发表评论...

说到 MT 生成，我有不同程度的复杂性：

很简单：这种表达方式已经在起作用了。 为每个字母生成一个新状态并向右移动。 如果在任何状态下，读取的字母不是预期的，它会启动一个“回滚电路”，以 MT 头在初始位置结束并在非最终状态停止。

ComplexWithoutOr：这是我的问题。 在这里，算法为每个子表达式生成一个 MT 并将它们连接起来。 这适用于一些简单的情况，但我有回滚机制的问题。

这是一个不适用于我的算法的示例：

"(ab) abac"：这是一个 ComplexWithoutOr 表达式，它包含一个 ComplexWithOr 表达式 "(ab) "（在 "ab" 中有一个 Simple 表达式）和一个 Simple 表达式 "abac"

我的算法首先为“ab”生成一个 MT1。 这个 MT1 被 MT2 用于“(ab)*”，所以如果 MT1 成功，它会再次进入 MT1，否则 MT1 回滚并且 MT2 正确完成。 换句话说，MT2 不会失败。

然后，它为“abac”生成一个 MT3。 MT2的输出是MT3的输入。 MT3的输出是执行的结果

现在，假设这个输入字符串：“abac”。 如您所见，它与正则表达式匹配。 那么让我们看看执行 MT 时会发生什么。

MT1 在第一次执行“ab”。 MT1 第二次 "ac" 失败并回滚，将 MT 头放在第三个位置 "a"。 MT2 正确完成，输入被转发到 MT3。 MT3 失败，因为 "ac"!="abac"。 所以MT不识别“abac”。

你明白问题所在吗？ 你知道有什么解决办法吗？

我是用Java开发的，但是语言不重要，我想讨论一下算法。

Answer 1

我并不完全清楚您究竟要实施什么。 看起来您想要制作一个图灵机（或一般的任何 FSM），它只接受那些也被正则表达式接受的字符串。 实际上，您希望将正则表达式转换为 FSM。

实际上，这正是真正的正则表达式匹配器在幕后所做的事情。 我认为 Russ Cox 的这一系列文章涵盖了很多你想做的事情。

Answer 2

Michael Sipser 在 In Introduction to the Theory of Computation 中，在第 1 章证明了正则表达式在其描述能力上等同于有限自动机。 部分证明涉及构建一个非确定性有限自动机 (NDFA)，它可以识别特定正则表达式所描述的语言。 我不打算复制那一章的一半，由于使用的符号，这会很困难，所以我建议你借用或购买这本书（或者使用这些术语的谷歌搜索可能会出现类似的证据）并使用它证明作为算法的基础。

由于图灵机可以模拟 NDFA，我假设生成 NDFA 的算法已经足够好了。

Answer 3

在乔姆斯基层次结构中，正则表达式为 Level3，而 TM 为 Level1。 这意味着，TM 可以生成任何正则表达式，但反之则不然。