证明流的平等

Question

我有一个数据类型

data N a = N a [N a]

玫瑰树和应用实例

instance Applicative N where
 pure a = N a (repeat (pure a))
 (N f xs) <*> (N a ys) = N (f a) (zipWith (<*>) xs ys)

并需要证明适用法律。 然而， 纯粹创造无限深，无限分枝的树木。 因此，例如，在证明同态定律

pure f <*> pure a = pure (f a)

我认为这证明了平等

zipWith (<*>) (repeat (pure f)) (repeat (pure a)) = repeat (pure (f a))

通过近似（或采取）引理将起作用。 然而，我的尝试导致归纳步骤中的“恶性循环”。 特别是减少

approx (n + 1) (zipWith (<*>) (repeat (pure f)) (repeat (pure a))

给

(pure f <*> pure a) : approx n (repeat (pure (f a)))

其中approx是近似函数。 如果没有明确的共同证据，我怎样才能证明这种平等？

Answer 1

我会使用展开的通用属性（因为重复和适当的不合格的拉链都展开）。 在我的博客上有一个相关的讨论。 但您可能也喜欢Ralf Hinze关于ICFP2008 （以及随后的JFP论文）的独特定点的论文。

（只是检查一下：你所有的玫瑰树都是无限宽而且无限深？我猜这些法律不会另有规定。）

Answer 2

以下是我认为有用并且保持在程序语法和等式推理层面的一些草图。

基本的直觉是， repeat x推理要比推理流（更糟糕的是，列表）更容易。

uncons (repeat x) = (x, repeat x)

zipWithAp xss yss = 
    let (x,xs) = uncons xss
        (y,ys) = uncons yss
    in (x <*> y) : zipWithAp xs ys

-- provide arguments to zipWithAp
zipWithAp (repeat x) (repeat y) = 
    let (x',xs) = uncons (repeat x)
        (y',ys) = uncons (repeat y)
    in (x' <*> y') : zipWithAp xs ys

-- substitute definition of uncons...
zipWithAp (repeat x) (repeat y) = 
    let (x,repeat x) = uncons (repeat x)
        (y,repeat y) = uncons (repeat y)
    in (x <*> y) : zipWithAp (repeat x) (repeat y)

-- remove now extraneous let clause
zipWithAp (repeat x) (repeat y) = (x <*> y) : zipWithAp (repeat x) (repeat y)

-- unfold identity by one step
zipWithAp (repeat x) (repeat y) = (x <*> y) : (x <*> y) : zipWithAp (repeat x) (repeat y)

-- (co-)inductive step
zipWithAp (repeat x) (repeat y) = repeat (x <*> y)

Answer 3

你为什么需要共同诱导？ 只是归纳。

pure f <*> pure a = pure (f a)

也可以写（你需要证明左右相等）

N f [(pure f)] <*> N a [(pure a)] = N (f a) [(pure (f a))]

这允许你一次关闭一个学期。 这会给你感应。