浮点运算如何在计算机上进行？

Question

我看过很长的文章，解释了如何存储浮点数以及如何对这些数字进行算术运算，但是请简要解释为什么我写时

cout << 1.0 / 3.0 <<endl;

我看到0.333333 ，但是当我写的时候

cout << 1.0 / 3.0 + 1.0 / 3.0 + 1.0 / 3.0 << endl;

我看到了1 。

电脑如何做到这一点？ 请只解释这个简单的例子。 对我来说足够了。

Answer 1

查阅有关“每位计算机科学家应了解的浮点算术知识”的文章

Answer 2

让我们做数学。 为简便起见，我们假设您只有四个有效数字（以2为基数）。

当然，由于gcd(2,3)=1 ，所以当以base-2表示时， 1/3是周期性的。 特别是，它不能精确表示，因此我们需要对近似值感到满意

A := 1×1/4 + 0×1/8 + 1×1/16 + 1*1/32

比实际值更接近1/3

A' := 1×1/4 + 0×1/8 + 1×1/16 + 0×1/32

因此，以十进制打印A会得到0.34375 （事实上​​，您在示例中看到的是0.33333 ，这恰恰证明了double中有更多有效数字）。

将这些加起来三遍，我们得到

A + A + A
= ( A + A ) + A
= ( (1/4 + 1/16 + 1/32) + (1/4 + 1/16 + 1/32) ) + (1/4 + 1/16 + 1/32)
= (   1/4 + 1/4 + 1/16 + 1/16 + 1/32 + 1/32   ) + (1/4 + 1/16 + 1/32)
= (      1/2    +     1/8         + 1/16      ) + (1/4 + 1/16 + 1/32)
=        1/2 + 1/4 +  1/8 + 1/16  + 1/16 + O(1/32)

O(1/32)项无法在结果中表示，因此将其丢弃，我们得到

A + A + A = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/16 = 1

QED :)

Answer 3

问题在于浮点格式表示以2为底的分数。

第一个小数位是1/2，第二个小数位是1/4，然后继续为1/2 ⁿ 。

这样做的问题在于 ，并不是每个有理数（一个可以表示为两个整数的比的数）实际上都以这种以2为基数的格式具有有限的表示形式。

（这使浮点格式难以用于货币值。尽管这些值始终是有理数（ n / 100），但实际上.00，.25，.50和.75只能以a的任意位数精确表示。以两个为基数。）

无论如何，当您将它们添加回去时，系统最终将有机会将结果四舍五入为可以精确表示的数字。

在某个时候，它发现自己将.666 ...数字添加到.333 ...一个，就像这样：

  00111110 1  .o10101010 10101010 10101011
+ 00111111 0  .10101010 10101010 10101011o
------------------------------------------
  00111111 1 (1).0000000 00000000 0000000x  # the x isn't in the final result

最左边的位是符号，接下来的8位是指数，其余位是小数。 在指数和分数之间是假定的“ 1”，它始终作为标准化的最左边分数位存在，因此实际上并未存储。 我写了零，它们实际上并不像o那样单独出现。

这里发生了很多事情，FPU在每一步都采取了相当英勇的措施来完善结果。 保留了两位额外的精度（超出了结果的精度），FPU在许多情况下知道是否有剩余的最右边的位，或者至少有1个是一位。 如果是这样，则该分数的那部分大于0.5（按比例缩放），因此将其四舍五入。 中间取整值允许FPU将最右边的位一直带到整数部分，最后取整为正确的答案。

这没有发生，因为有人添加了0.5。 FPU在格式限制内尽了最大的努力。 实际上，浮点数并不准确。 这是完全准确的，但是我们期望在以10为底的有理数世界视图中看到的大多数数字都无法用格式的以2为底的分数来表示。 实际上，很少。

Answer 4

对于这个特定的示例：我认为当今的编译器太聪明了，并且如果可能的话，会自动确保原始类型的const结果正确。 我没有设法愚弄g ++进行这样的错误的简单计算。

但是，通过使用非常量变量可以很容易地绕开这些东西。 仍然，

int d = 3;
float a = 1./d;
std::cout << d*a;

会精确地产生1，尽管这不是真的可以预期的。 正如已经说过的，原因是operator<<将错误四舍五入。

至于为什么可以这样做：当您将相似大小的数字相加或将float乘以一个int ，您将获得浮点数类型可以最大地为您提供的几乎所有精度-这意味着，比率误差/结果非常小（换句话说，假设您有一个肯定的错误，则错误发生在小数点后一位。

因此，即使3*(1./3)作为浮点数（不完全是==1 ）也具有较大的正确偏差，这会阻止operator<<照顾小错误。 但是，如果您仅减去1就消除了这种偏差，则浮点将向下滑动到错误的位置，突然之间，它不再是可以忽略的。 就像我说的那样，如果您只键入3*(1./3)-1不会发生这种情况，因为编译器太聪明了，但是请尝试

int d = 3;
float a = 1./d;
std::cout << d*a << " - 1 = " <<  d*a - 1 << " ???\n";

我得到的（g ++，32位Linux）是

1 - 1 = 2.98023e-08 ???

Answer 5

之所以有效，是因为默认精度为6位，并且四舍五入为6位结果为1。请参见C ++草稿标准（n3092）中的27.5.4.1 basic_ios构造函数。