如何证明monad是一个仿函数和一个应用函子？

Question

Monad在理论上被认为是仿函数的一个子集，特别是应用仿函数，尽管它没有在Haskell的类型系统中指出。

知道这一点，给定一个monad并基于return和bind ，如何：

• 派生fmap ，
• 派生<*> ？

Answer 1

好吧， fmap只是(a -> b) -> fa -> fb ，即我们想用纯函数转换monadic动作的结果。 用符号写起来很容易：

fmap f m = do
  a <- m
  return (f a)

或者，写成“原始”：

fmap f m = m >>= \a -> return (f a)

这可以作为Control.Monad.liftM 。

pure :: a -> fa当然是return 。 (<*>) :: f (a -> b) -> fa -> fb有点棘手。 我们有一个返回一个函数的动作，一个返回其参数的动作，我们想要一个动作返回它的结果。 再做一次记录：

mf <*> mx = do
  f <- mf
  x <- mx
  return (f x)

或者，desugared：

mf <*> mx =
  mf >>= \f ->
  mx >>= \x ->
  return (f x)

田田！ 这可以作为Control.Monad.ap ，因此我们可以为任何monad M提供Functor和Applicative的完整实例，如下所示：

instance Functor M where
  fmap = liftM

instance Applicative M where
  pure = return
  (<*>) = ap

理想情况下，我们可以直接在Monad指定这些实现，以减轻为每个monad定义单独实例的负担，例如使用此提议 。 如果发生这种情况，那么使Applicative成为Monad的超类将没有真正的障碍，因为它将确保它不会破坏任何现有代码。 另一方面，这意味着为给定Monad定义Functor和Applicative实例所涉及的样板文件很少，因此很容易成为“好公民”（并且应该为任何monad定义此类实例）。

Answer 2

fmap = liftM和(<*>) = ap 。 以下是liftM和ap源代码的链接。 我认为你知道如何desugar做符号。