如何證明monad是一個仿函數和一個應用函子？

Question

Monad在理論上被認為是仿函數的一個子集，特別是應用仿函數，盡管它沒有在Haskell的類型系統中指出。

知道這一點，給定一個monad並基於return和bind ，如何：

• 派生fmap ，
• 派生<*> ？

Answer 1

好吧， fmap只是(a -> b) -> fa -> fb ，即我們想用純函數轉換monadic動作的結果。 用符號寫起來很容易：

fmap f m = do
  a <- m
  return (f a)

或者，寫成“原始”：

fmap f m = m >>= \a -> return (f a)

這可以作為Control.Monad.liftM 。

pure :: a -> fa當然是return 。 (<*>) :: f (a -> b) -> fa -> fb有點棘手。 我們有一個返回一個函數的動作，一個返回其參數的動作，我們想要一個動作返回它的結果。 再做一次記錄：

mf <*> mx = do
  f <- mf
  x <- mx
  return (f x)

或者，desugared：

mf <*> mx =
  mf >>= \f ->
  mx >>= \x ->
  return (f x)

田田！ 這可以作為Control.Monad.ap ，因此我們可以為任何monad M提供Functor和Applicative的完整實例，如下所示：

instance Functor M where
  fmap = liftM

instance Applicative M where
  pure = return
  (<*>) = ap

理想情況下，我們可以直接在Monad指定這些實現，以減輕為每個monad定義單獨實例的負擔，例如使用此提議 。 如果發生這種情況，那么使Applicative成為Monad的超類將沒有真正的障礙，因為它將確保它不會破壞任何現有代碼。 另一方面，這意味着為給定Monad定義Functor和Applicative實例所涉及的樣板文件很少，因此很容易成為“好公民”（並且應該為任何monad定義此類實例）。

Answer 2

fmap = liftM和(<*>) = ap 。 以下是liftM和ap源代碼的鏈接。 我認為你知道如何desugar做符號。