我怎樣才能證明`Monad` 實際上是`Applicative` 和`Functor`？

Question

在 Haskell 中，類Monad被聲明為：

class   Applicative m   =>  Monad   m   where
return  ::  a   ->  m   a
(>>=)   ::  m   a   ->  (a  ->  m   b)  ->  m   b
return  =   pure

我怎樣才能證明Monad實際上是Applicative ，它是這樣聲明的？

class   Functor f   =>  Applicative f   where
pure    ::  a   ->  f   a
(<*>)   ::  f   (a  ->  b)  ->  f   a   ->  f   b

具體來說，我如何在return和>>=方面編寫pure和<*> ？

我怎樣才能證明Monad實際上是Functor ，它是這樣聲明的？

class   Functor f   where
fmap    ::  (a  ->  b)  ->  f   a   ->  f   b

具體來說，如何根據return和>>=編寫fmap ？

Answer 1

這些都在文檔中。

具體來說，我如何在 return 和>>=方面編寫pure和<*> ？

請參閱http://hackage.haskell.org/package/base-4.12.0.0/docs/Control-Monad.html#t:Monad ，特別是本節：

此外，Monad 和 Applicative 操作應如下相關：

 pure = return (<*>) = ap

並注意ap早在 Applicative 作為語言的標准部分被引入之前就是一個標准的 Monad 函數，並且被定義為ap m1 m2 = do { x1 <- m1; x2 <- m2; return (x1 x2) } ap m1 m2 = do { x1 <- m1; x2 <- m2; return (x1 x2) }

Specifically, how can I write fmap in terms of return and >>=?

Control.Applicative 文檔說：

作為這些定律的結果， f的Functor實例將滿足

fmap fx = pure f <*> x

當然，使用我上面引用的內容，您可以使用return和>>=來實現fmap 。

正如@duplode 指出的那樣，還有用於 Monads 的liftM和用於 Applicatives 的LiftA ，它們是（本質上，雖然它們的字面定義不是那樣） fmap同義詞，專門用於它們的特定類型類。