找到两个移动物体的更好交点

Question

我想优化我的算法之一，我将尝试以最佳方式解释它。

主题

我们在t = 0时处于2D欧几里得系统中。 在这个系统中有两个对象： O1和O2 。

O1和O2分别位于PA和PC点。

O1以点PB的方向以恒定且已知的速度移动。 当物体到达PB时，物体将停止。

O2可以在任何方向上以不同或不同的O1的恒定和已知速度移动。 在时间0，O2 没有方向 ，我们需要为它找到一个。

知识参数：

• O1：位置，方向，速度
• O2：位置，速度

这是系统的一个小图。

我们希望找到点P1和时间ti ，其中： Position of O1 at the time ti = Position of O2 at the time ti = PI 。 然后我们将使对象O2移动到点P1以获得O2方向 。

当选择O2的方向（点PI）并且两个对象O1和O2都在移动时， 对象将永远不会停止或等待彼此。

在这种情况下，结果将是这样的（PI在此图片上标注为D）。

算法

你可以在这个jsfiddle找到用JS编写的工作算法，它也是理解这个问题的好方法。

这时我使用的是一个简单的算法，但是可以进行大量的操作，我会获得最佳的交叉时间，然后获得交叉位置。

为了得到这个时间，我会在一刻检查O1的位置，并检查此时O2是否可能到达此位置。 如果O2无法及时到达物体，我们会将时间增加150％，但是如果O2当时可以越过O1-B线，我们将把时间缩短50％。

最终，经过多次近似，我们将找到两个物体相遇的最佳时间。

伪代码

function getOptimalIntersectionTime time
   if distance between O1 and O2 at the time `time` < 1
       return time
   else if O2 could not reach the object O1 at the time `time`
       return getOptimalIntersectionTime time * 1.5
   else
       return getOptimalIntersectionTime time * 0.5

我为什么关心？

我的算法有效，但在某些情况下（例如jsFiddle中的“反向情况”），需要大量的微积分才能找到最佳点。

在这个jsFiddle中，我们使用较小的位置值（-1000到1000）和速度（1-200），但是这个算法在数字较大的情况下显得较慢。

我知道过早优化是一个坏主意，但我在项目的最后（包括数据库插入/选择和数据分析，包括这个算法多次调用），这个算法占用了80％的项目系统在某些情况下需要资源，因此改进可以真正提高系统的稳定性和响应性。

Answer 1

不失一般性，让O2位于（0,0）。

设s和v为O1的位置和速度向量， v2为O2的速度，t为截距时间。 然后我们有：

|s + v * t| = t * v2

根据距离的定义：

(sx + vx * t) ^ 2 + (sy + vy * t) ^ 2 = (t * v2) ^ 2

乘以这个和重新排序的术语给出：

  sx^ 2 + 2 * sx * vx * t + vx^2 * t^2
+ sy^ 2 + 2 * sy * vy * t + vy^2 * t^2
-                           v2^2 * t^2
= 0

即

  sx^2 + sy^2 + (2 * sx * vx + 2 * sy * vy) * t + (vx^2 + vy^2 - v2^2) * t^2 = 0
  \---   ---/   \------------   ----------/       \--------   ------/
      \ /                    \ /                           \ /
       c                      b                             a

如您所见，这是t中的二次方程。 我们可以简单地应用二次公式来找到t的两个可能值（如果方程没有解，那是因为没有拦截是可能的）。 您可能希望使用最早的未来拦截，即较小的t> 0。

一旦你计算了t ，找到拦截点，从那里拦截方向应该很容易。

总而言之，这个问题可以在恒定的时间内解决，不需要迭代。

Answer 2

你似乎过分思考问题，它应该只是简单的几何。

撇开如何定义最近点的问题 ，让我们解决所需点位于PA和PB之间的情况。

我们必须假设整个周期的时间段，让我们称之为T

PI = (PB - PA) / 2;  // simplified
TI = T / 2;          // simplified

[分别分解x和y坐标的所有公式]。

有一个相对简单的公式用于确定点（PC）与线（PA - > PB）的最近交点，尽管当该线不是无限长时，它的定义是如何复杂的。

然后你需要：

V1 = (PB - PA) / T;  // O1's velocity
V2 = (PI - PC) / T;  // O2's velocity

最后两行不依赖于先前的假设 - 如果您知道截取点，那么速度就是行进的距离除以所花费的时间。

因此，除非你对V2施加一些额外的约束，否则总有一个解决方案，并且它是在一些简单的数学运算中计算出来的。

Answer 3

更新：@Meriton后来的回答比我好。 我建议尝试他的第一个。

如你所知，我们在三个未知数vx2，vy2和t中分别有三个联立方程 - 分别为02和x的y和y速度。 不幸的是，这些方程式并非都是线性的：

x1o + vx1*t == x2o + vx2*t
y1o + vy1*t == y2o + vy2*t
vx2*vx2 + vy2*vy2 == vy*vy

（这里，x1o，y1o，x2o和y2o是初始位置的坐标。）

如果有办法线性化问题，我没有看到它。 然而，您可以通过相同的Newton-Raphson技术迭代地快速解决，GPS用于从卫星信号中计算您的位置。 当然，要填写细节并实施这将需要一些工作！

更新：我认为 @Alnitak可能会将您的问题线性化，而不是整齐。 也许他的方法和我的方法的组合因此会繁荣。 （我仍然认为你会想要使用Newton-Raphson迭代来收敛@ Altinak的T ）

Answer 4

由于速度是固定的，这应该可以使用并行导航的思想来解决。 这样想吧。 在时间0，在O1和O2之间存在一条线（LOS或视线）。 如果O2遵循最佳交叉路径，则在时间1，O1和O2之间的线将与时间0 LOS平行。 由于您具有O2的速度，您可以计算它在时间0和时间1之间行进的距离，并且可以计算它与时间1 LOS相交的位置。 想想在O2的原始位置周围划一圈，其半径等于它在该时间间隔内行进的距离。 该圆与第二个LOS的交叉点将包含解决方案。 如果没有相交，则没有解决方案。 这本在线书的开头有一个图表和公式，显示了这个概念：

http://www.crcnetbase.com/doi/abs/10.1201/9781420062281.ch2

这个问题有真实世界的应用程序，你也可以在这里找到这个解决方案。 例如，潜艇可以使用它来绘制和维持与目标的拦截航线，方法是在它们靠近目标时使LOS轴承保持不变。

编辑：

该图显示了我在说什么。 这可以使用三角函数来解决，除了目标O1直接朝向或远离导弹O2（可以简单地解决）的特殊情况。

在上图中，我们可以花费一些任意的时间。 在那个时间t1期间，O1将具有行进距离b，并且O2将具有行进距离f。 在时间t0，O1和O2之间的线与在时间t1的O1和O2之间的线平行。 由于我们给出了O1和O2的初始位置，我们知道距离d，并且由于我们给出了O1的方向，我们可以简单地计算角度A.

So given A, b, f, and d, using the law of Cosines,
a = sqrroot(c^2 + b^2 - (2cb * cos(A)))
and
B = arccos((a^2 + c^2 - b^2)/2ac)
Using the law of Sines
E = arcsin((a * sin(B))/f)  or the ambiguous value of 180 - that value
and with that
BC = 180 - E   (because C = 180 - B - E so C+B = 180 - E

对于BC，我们有解决方案，并且可以类似地计算O1和O2的初始位置的三角形的任何其他方面和交点。 自从我使用高中三年以来已经很多年了，所以我可能会错过这个简化，但这有希望解释我最初描述的解决方法。