使用多个求和找到有序集合的组合数

Question

这是关于寻找其中元素具有约束的有序集合的多个组合的问题。

举个例子：

a + b + c + d + e = 635，可能是...

[0-90] + [1-120] + [50-150] + [20-200] + [30-250] = 635

一种解决方案使用多次求和，正如在数学堆栈交换中所回答的那样。

https://math.stackexchange.com/questions/159197/combinatorics-using-constraints-and-ordered-set

有人可以对解决此类问题的过程或伪代码给出一个总体思路吗？

非常感谢你！

Answer 1

查看数学交换页面上发布的解决方案。 每个sigma符号都是嵌套的for循环。 最里面的项x作为if给出。 因此，您的算法应该是围绕if的四个嵌套循环。

Answer 2

一堆嵌套的for循环是最简单的方法。

伪代码：

let combinations = 0;
for a = 0 to 90
    for b = max(a+1, 1) to 120
        for c = max(b+1, 50) to 150
            for d = max(c+1, 20) to 200
                let e = 635 - a - b - c - d;
                if max(d+1, 50) <= e <= 250
                    let combinations = combinations + 1

更新资料

可以对上面的内容进行一些优化，但最终会得到特定的解决方案，而不是一般的解决方案。

您可以观察到(a+1) >= 1始终为true，因此我们可以摆脱对b的赋值中的max调用。 同样， (c+1) >= 20始终为true，因此可以简化对d的分配。

您还可以看到a + b + c + d的最大可能值为540，这为e给出了最小可能值为95。 这大于e的规定下限，因此我们只需要检查e >= (d+1) 。

我们最终得到：

let combinations = 0;
for a = 0 to 90
    for b = a+1 to 120
        for c = max(b+1, 50) to 150
            for d = c+1 to 200
                let e = 635 - a - b - c - d;
                if d+1 <= e <= 250
                    let combinations = combinations + 1