二分图中计数路径数（长度N）

Question

我目前正在通过进行深度优先搜索（最多10个级别）来计算二分图中长度为$ n $的路径数。 但是，我的实现需要5分钟以上的时间，才能从具有3000+个元素的二部图中计算700万条长度为5的路径。 我正在寻找一种更有效的方法来解决此计数问题，并且我想知道文献中是否有这样的算法。

这些是无向二部图，因此路径中可能存在循环。

我的目标是在一分钟内计算100万个元素的二部图中长度为$ n $的路径数。

预先感谢您提出的任何建议答案。

Answer 1

我同意第一个想法，但它不是一个BFS。 在BFS中，您需要遍历每个节点一次，这里可以进行很多次。
您必须保留2个数组（我们将其称为Cnt1和Cnt2，Cnt1是到达元素的次数，并且路径的长度为i，而Cnt2相同，但长度为i +1）。 第一次，所有元素在Cnt2中均为0，在Cnt1中为1（因为从每个节点开始都有一条长度为零的路径）。

重复N次：
遍历所有节点
对于当前节点，您要遍历其所有连接的节点，并为每个节点在Cnt2上的该位置添加到达Cnt1中当前节点的次数。
完成所有节点后，只需将Cnt2复制到Cnt1中并将Cnt2设为零即可。
最后，您只需添加Cnt1的所有数字即可，这就是答案。

Answer 2

转换为广度优先搜索，每当您有2条路径以相同的长度通向同一节点时，只需跟踪有多少种这样的方式，而不是如何到达那里。

这样可以避免大量重复工作，并可以大大提高速度。 （如果n不小，则可以提高速度，请继续阅读。）

我的目标是在一分钟内计算一百万个元素的二部图中长度为n的路径数。

嗯，祝你好运？

要研究的另一种方法是，如果采用图的邻接矩阵并将其提高到第n次幂，则矩阵的所有条目都是长度结束的路径数（从一个位置开始）在另一个。 因此，您可以采用快捷方式，例如重复平方。 方便，不是吗？

不幸的是，一百万个元素图产生了一个具有10 ^ 12项的邻接矩阵。 将两个这样的矩阵与朴素算法相乘应该需要10 ^ 18的运算。 当然，我们有更好的矩阵乘法算法，但是您仍然没有低于10 ^ 15的运算量。 肯定会在1分钟内完成。 （如果矩阵足够稀疏，则可能会有机会，但是您应该对此主题进行一些研究。）