计算有向图中欧拉路径的数量？

Question

• 我想在有向图中计算所有的Euler路径。
• 电路对我不好，只有路径。

我正在做一个问题，我已经得出结论，知道快速的路径数量会有所帮助。 目前，我已经编写了一个用c ++编写的递归函数，可以找到所有这些递归函数，但是它的复杂性迅速增长，因此我的算法很快变慢。 我的算法是〜O（2 ^ n）。 如果可能的话，我想要一个更快的。

我已经研究了该主题，但是我只能在有向图和无向图中找到Euler电路的证明（为NP完整或多项式）和算法。 但是，我再次在有向图中寻找欧拉路径。

我的图只有两个节点，但是有很多边，应该只接触一次，就像在欧拉路径中一样。

因此，总而言之：

1. 欧拉路径 。
2. 有向图。
3. 只有两个节点。
4. 高边数。
5. 边缘成本是相同的。

这是说明可能的设置的图像。

Answer 1

如果您想生成所有可能的路径，我认为不可能加快速度，因为您必须打印很多路径。 但是，如果您只需要计算它们，则可以更快地完成。

您有4种类型的边。 1）0-0; 2）1-1; 3）0-1; 4）1-0

首先，让我们计算一下我们有多少个类型3和4的边。

假设：

S1-类型1的边总数

S2-类型2的边总数

S3-类型3的边总数

S4-类型4的边总数

如果| S3-S4 | > 1路径不存在。

对于您的图，S3 = 1，S4 =2。假设我们有一条路径。 让我们修复类型3和4的边。

然后该路径将如下所示：

(1-1)*, 1-0, (0-0)*, 0-1, (1-1)*, 1-0, (0-0)*

(1-1)* -表示0或更多次重复边1-1。

现在该算法看起来很明显：

1. 生成（1-0）边的置换
2. 生成（0-1）边的置换
3. 生成（0-0）个边的置换
4. 生成（1-1）边的置换
5. 在不超过S1和S2的部分中找到S3和S4的所有成分。
6. 把答案写下来。

步骤1-4将花费O（S1！* S2！* S3！* S4！）时间（S1 + S2 + S3 + S4 = n）。

因此该算法将很慢。

我们可以使用乘积法则找到总数。

步骤1-4给我们S1！ * S2！ * S3！ * S4！ 组合。

可以计算O（N）时间中的第5步组合。 只需计算本文中的前缀总和即可： https : //en.wikipedia.org/wiki/Composition_(combinatorics）