计算图中的MST数量

Question

我好几个小时都在想这个问题，但没有找到解决办法

问题是 ：

给定图具有多少个MST（MST：=最小生成树）

图G是无向的连通图

保证顶点的度数不超过3 :)

更喜欢C / C ++解决方案（也可以理解类似代码的算法）

并请以较低的顺序:)（运行时间）

UPDATE

首先找到所有MST ：） O（| E | log | E |）

其他更糟糕的地方:(

Answer 1

您可以尝试回溯。 在“叶”顶点之一的每一步中，确定要使用多少“出”边。

function add_some_vertex_edges(leaves, edge):
  if |leaves| == |V|:
    num_of_MSTs += 1
    return
  v = leaves.pop()  # takes one vertex and removes it from leaves
  let v_edge be set of incident edges to v that are not already in edges and that don't make cycle if added to edges
  for each combination of edges from v_edge:
    add_edges(leaves + incident_vertices, edges + edge_combination)

add_some_vertex_edges({v}, {})

由于顶点度<= 3，因此对于每个叶子，一个边缘用于“输入”，因此| v_edge | <= 2，并且由于该搜索树很窄。

最坏的情况下运行时间是O（2 ^ n），但在实际情况下可能很快。 有一些MST的最坏情况的例子。 我能想到的示例是两条平行的顶点线和它们之间的连接。

O---O---O---O---O---O---O---O---O---
 \ /     \ /     \ /     \ /     \ /
  X       X       X       X       X ...
 / \     / \     / \     / \     / \
O---O---O---O---O---O---O---O---O---

在此示例中，恰好有2 ^（n / 2）个MST。 要计算此角度，请选取2个最左边的顶点。 它们可以通过4种方式连接到图形的其余部分。

O---O   O   O   O   O   O---O
         \ /     \ /     \ /
          X       X       X
         / \     / \     / \
O---O , O   O , O---O , O   O

对于每组相互连接的4个顶点，有4 = 2 ^ 2种可能性可供选择。