总计为A的N个整数的不同组的数量

Question

我想计算N个整数的不同有序组的数量，以便每个组的元素总和为A.

例如：如果N = 3且A = 3，结果应为10：
1 = [3,0,0]
2 = [2,1,0]
3 = [1,2,0]
4 = [0,3,0]
5 = [2,0,1]
6 = [1,1,1]
7 = [0,2,1]
8 = [1,0,2]
9 = [0,1,2]
10 = [0,0,3]

我这样做的方式是蛮力：

public static int calc(int a, int n){
    if (n <= 1 || a == 0) return 1;

    int sum = 0;
    for (int i=0; i<=n; i++)
        sum += calc(a - i, n - 1);

    return sum;
}

我怀疑可能有更好的方法（我错过了一些数学计算......）吗？

编辑在原始问题中，我忘了考虑订单

Answer 1

这是A到N部分（包括零部分）的组合成分 。 对（A，N）的组成数等于C（A + N-1，A），其中C（）是组合数，即二项式系数。 在这里和这里看到相同的公式

Answer 2

想象一下长度为A大段。 并想象N-1有序分隔符，将分段分成几部分。 因此，每个部分是一个加数，而整个部分是一个总和。

因此，您只需提供算法来枚举分隔符位置。

可以放入N+1位置的第一个分隔符P_0 = {0,1，... N}

第二个分隔符可以进入P_1 = {P_0，... N}中的任何一个

等等。

您可以使用递归来实现此功能。

Answer 3

我确信有一个数学计算来回答这个问题，但由于这是一个编程问答，我会告诉你如何让你的程序更快地给出答案：你可以使用memoization 。

目前，您的程序每次都会重新计算calc(a, n)的答案。 但是，答案可以计算一次，因为它在后续调用中不会更改。 为calc(a,n)的结果添加一个2D数组，用-1初始化，并在计算结果之前使用它来查找结果，以节省大量时间反复重复计算相同的数字：

private static int[][] memo = new int[30][30];
static {
    for(int i = 0 ; i != 30 ; i++)
        for(int j = 0 ; j != 30 ; j++)
            memo[i][j] = -1;
}
public static int calc(int a, int n){
    if (n <= 1 || a == 0) return 1;
    if (memo[a][n] > 0) return memo[a][n];
    int sum = 0;
    for (int i=0; i<=n; i++)
        sum += calc(a - i, n - 1);
    return (memo[a][n] = sum);
}

Answer 4

对于枚举：使用上面其他解决方案中给出的公式，更加高效。 除非需要，否则您永远不想实际生成一整套n整数合成。 它们具有难以处理的属性，特别是如果您只想要总计它们，而不是生成它们。 生成它们是另一个问题......

用于生成：使用无环算法...有很多O（1） - 灰色代码序列结果。 限制整数组合的变化非常少，没有或没有无循环算法。 在整类组合的这类问题中有许多算法，其中大多数是非常具体的，但是对于这个特定问题存在大量现代无循环算法。 超级高效。 除非你有大量的并行计算功能，否则蛮力绝不是解决这个问题的方法。 Google或Google Scholar随时为您服务！ ：d

希望这可以帮助！

Answer 5

我找到了另一个解决方案，只是递归和没有分隔符：

public class App201210121604 {

public static Vector<int[]> split(int sum, int count) {

    if( sum < 0 ) {
        throw new IllegalArgumentException("Negative sum is not allowed");
    }

    Vector<int[]> ans = new Vector<int[]>();

    // "reserved" end of recursion
    if( count <= 0 ) {
        // nothing to do
    }

    // end of recursion
    else if( count == 1 ) {
        ans.add(new int[] {sum});
    }

    // body of recursion
    else {
        // for each first summand from 0 to summ
        for(int i=0; i<=sum; ++i) {

            // do a recursion to get the "tail"
            for(int[] tail : split(sum-i, count-1)) {

                int[] group = new int[count];
                group[0] = i;
                System.arraycopy(tail, 0, group, 1, count-1);

                ans.add(group);
            }
        }
    }

    return ans;
}

public static void main(String[] args) {

    Vector<int[]> ans = split(8, 4);

    for(int[] group : ans) {
        for(int i=0; i<group.length; ++i) {
            if( i>0 ) System.out.print("+");
            System.out.print(group[i]);
        }
        System.out.println("");
    }
}

}