Matlab，运算符A \\ B.

Question

操作A \\ B的结果是什么，其中A（1，m）和B（1，m）？

在手册中写道：

A\B returns a least-squares solution to the system of equations A*x= B.

所以它意味着x = inv（A'* A）* A'* B？ 但是，矩阵A'* A是单数的......

让我们假设：

A=[1 2 3]
B=[6 7 6]
A\B

0         0         0
0         0         0
2.0000    2.3333    2.0000

如果使用MLS：

C = inv (A'*A)   singular matrix
C = pinv(A'*A)

0.0051    0.0102    0.0153
0.0102    0.0204    0.0306
0.0153    0.0306    0.0459

D= C*A'*B

0.4286    0.5000    0.4286
0.8571    1.0000    0.8571
1.2857    1.5000    1.2857

所以结果A \\ B和inv（A'* A）* A'* B是不同的......

Answer 1

我的MATLAB（R2010b）说了很多关于A\\B作用：

mldivide(A,B)和等效的A\\B执行矩阵左划分（反斜杠）。 A和B必须是具有相同行数的矩阵，除非A是标量，在这种情况下A\\B执行逐元素除法 - 即A\\B = A.\\B

如果A是方阵，则A\\B与inv(A)*B大致相同，除非它以不同的方式计算。 如果A是n by- n矩阵， B是具有n元素的列向量，或者是具有多个这样的列的矩阵，则X = A\\B是等式AX = B的解。 如果A严重缩放或几乎是单数，则会显示警告消息。

如果A是m by- n矩阵，其中m ~= n ， B是具有m分量的列向量，或者是具有多个这样的列的矩阵，那么X = A\\B是最小二乘意义下的解决方案。 - 或超定方程组AX = B 换句话说， X最小化norm(A*X - B) ，即矢量AX - B的长度。 A的等级k由具有列旋转的QR分解确定。 计算的解X每列最多具有k非零元素。 如果k < n ，这通常与x = pinv(A)*B ，它返回最小二乘解。

mrdivide(B,A)和等效B/A执行矩阵右除（正斜杠）。 B和A必须具有相同的列数。

如果A是方阵，则B/A与B*inv(A)大致相同。 如果A是n by- n矩阵， B是具有n元素的行向量，或者是具有多个这样的行的矩阵，那么X = B/A是通过高斯消除和部分旋转计算的等式XA = B的解。 。 如果A严重缩放或几乎是单数，则会显示警告消息。

如果B是m m ~= n的m by- n矩阵， A是具有m分量的列向量，或者是具有多个这样的列的矩阵，则X = B/A是最小二乘意义下的解决方案。 - 或超定方程组XA = B

Answer 2

x = inv (A'*A)*A'*B无二超定系统（即其中设有A作为nxm与矩阵n>m ;在这些情况下A'A是可逆的）。

在您的情况下，您有一个未确定的系统。

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那么，会发生什么？

我的意见，虽然你可以检查，至少在你的情况下 ：

当你做A\\B matlab解决了与通常的最小二乘相反的优化问题，即

 X = argmin_{X \in S} ||X||,

其中S是一组解决方案。 换句话说，它为您提供了具有最小L ^ 2范数的系统的解决方案。 （考虑到您可以手动处理问题，至少在您的情况下）。