Matlab，運算符A \\ B.

Question

操作A \\ B的結果是什么，其中A（1，m）和B（1，m）？

在手冊中寫道：

A\B returns a least-squares solution to the system of equations A*x= B.

所以它意味着x = inv（A'* A）* A'* B？ 但是，矩陣A'* A是單數的......

讓我們假設：

A=[1 2 3]
B=[6 7 6]
A\B

0         0         0
0         0         0
2.0000    2.3333    2.0000

如果使用MLS：

C = inv (A'*A)   singular matrix
C = pinv(A'*A)

0.0051    0.0102    0.0153
0.0102    0.0204    0.0306
0.0153    0.0306    0.0459

D= C*A'*B

0.4286    0.5000    0.4286
0.8571    1.0000    0.8571
1.2857    1.5000    1.2857

所以結果A \\ B和inv（A'* A）* A'* B是不同的......

Answer 1

我的MATLAB（R2010b）說了很多關於A\\B作用：

mldivide(A,B)和等效的A\\B執行矩陣左划分（反斜杠）。 A和B必須是具有相同行數的矩陣，除非A是標量，在這種情況下A\\B執行逐元素除法 - 即A\\B = A.\\B

如果A是方陣，則A\\B與inv(A)*B大致相同，除非它以不同的方式計算。 如果A是n by- n矩陣， B是具有n元素的列向量，或者是具有多個這樣的列的矩陣，則X = A\\B是等式AX = B的解。 如果A嚴重縮放或幾乎是單數，則會顯示警告消息。

如果A是m by- n矩陣，其中m ~= n ， B是具有m分量的列向量，或者是具有多個這樣的列的矩陣，那么X = A\\B是最小二乘意義下的解決方案。 - 或超定方程組AX = B 換句話說， X最小化norm(A*X - B) ，即矢量AX - B的長度。 A的等級k由具有列旋轉的QR分解確定。 計算的解X每列最多具有k非零元素。 如果k < n ，這通常與x = pinv(A)*B ，它返回最小二乘解。

mrdivide(B,A)和等效B/A執行矩陣右除（正斜杠）。 B和A必須具有相同的列數。

如果A是方陣，則B/A與B*inv(A)大致相同。 如果A是n by- n矩陣， B是具有n元素的行向量，或者是具有多個這樣的行的矩陣，那么X = B/A是通過高斯消除和部分旋轉計算的等式XA = B的解。 。 如果A嚴重縮放或幾乎是單數，則會顯示警告消息。

如果B是m m ~= n的m by- n矩陣， A是具有m分量的列向量，或者是具有多個這樣的列的矩陣，則X = B/A是最小二乘意義下的解決方案。 - 或超定方程組XA = B

Answer 2

x = inv (A'*A)*A'*B無二超定系統（即其中設有A作為nxm與矩陣n>m ;在這些情況下A'A是可逆的）。

在您的情況下，您有一個未確定的系統。

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那么，會發生什么？

我的意見，雖然你可以檢查，至少在你的情況下 ：

當你做A\\B matlab解決了與通常的最小二乘相反的優化問題，即

 X = argmin_{X \in S} ||X||,

其中S是一組解決方案。 換句話說，它為您提供了具有最小L ^ 2范數的系統的解決方案。 （考慮到您可以手動處理問題，至少在您的情況下）。