地图。 foldr函数组合 - Haskell

Question

所以，让我们直截了当。

:t (map.foldr)
(map.foldr) :: (a1 -> a -> a) -> [a] -> [[a1] -> a]

什么是[[a1] - > a]？ 我真的想要理解这个构图，所以我这样做：

-- map.foldr

    map.foldr :: (a1 -> a -> a) -> [a] -> [[a1] -> a]

    map :: (a1 -> b1) -> [a1] -> [b1]
    (.) :: (y -> w) -> (x -> y) -> x -> w
    foldr :: (a -> b -> b) -> b -> [a] -> b

    y = (a1 -> b1)      w = ([a1] -> [b1])
    x = (a -> b -> b)   y = (b -> [a] -> b)

    y = (a1 -> b1)  
    y = (b -> [a] -> b)
_________________________

在这一点上会发生什么？ 谢谢！

Answer 1

要回答这个问题，最好回想一下foldr和map作用。

两者中较为复杂的是foldr ，它有类型

--              list to be folded
--                              v
foldr :: (a -> b -> b) -> b -> [a] -> b
--             ^          ^
--folding function        terminal value

要折叠的列表实际上是一个conses链(:)和一个终端空列表：

1 : 2 : 3 : []

foldr的作用是分别用折叠函数和终值替换:和[]构造函数：

foldr (+) 0 (1 : 2 : 3 : []) == 1 + 2 + 3 + 0

---

map功能更简单。 考虑它的一种方法是获取函数和列表，并将函数应用于列表的每个参数：

map :: (a -> b) -> [a] -> [b]
--        ^         ^
-- function         list

但是，您也可以将其视为一个函数，并将其提升为一个对列表起作用的函数：

map :: (a -> b) -> ( [a] -> [b] )
--        ^              ^
-- function              function on lists

---

map . foldr这两个函数是什么意思map . foldr map . foldr ？ 请注意，这只是一个接一个地应用这些功能 - 特别是

(map . foldr) f == map (foldr f)

因为你首先应用foldr ，你必须将它应用于函数f :: a -> b -> b ，然后你得到另一个函数：

foldr f :: b -> [a] -> b
--         ^     ^
--terminal val   list to be folded

现在您应用map ，它将提升函数以对列表执行操作：

map (foldr f) :: [b] -> [[a] -> b]
--                ^          ^
--list of terminal vals      functions that fold lists

这种类型看起来很奇怪，但它是有效的。 现在，不是单个终端值，而是给它一个终端值列表，然后返回折叠函数列表 - 每个终端值对应一个。

---

为了更清楚，我们可以查看具有类型的特定函数(+)

(+) :: Num a => a -> a -> a

如果我们将其替换为上面的等式，我们得到

(map . foldr) (+) :: Num a => [a] -> [[a] -> a]
--                             ^          ^
--         list of terminal vals          functions that fold lists

如果我们现在将它应用于列表[0, 1, 2]我们将得到三个函数的列表：

(map . foldr) (+) [0,1,2] :: Num a => [[a] -> a]

我们可以使用map ($x) idiom将列表中的每个函数应用于特定参数。 它必须是一个数字列表，我将选择[3,4,5] 。 仔细观察：

> map ($[3,4,5]) ((map.foldr) (+) [0,1,2])
[12, 13, 14]

使用(+)作为折叠函数将列表[3,4,5]折叠三次，并且每次使用不同的终值：

3 + 4 + 5 + 0 == 12
3 + 4 + 5 + 1 == 13
3 + 4 + 5 + 2 == 14

当终端值为0 ，我们只需得到值的总和： 3 + 4 + 5 == 12 。 当终值为1我们得到的值多于值的总和（ 13 ），当终值为2我们得到的值比值的总和（ 14 ）多两个。

Answer 2

要从中断的地方继续， y的两个定义必须相等：

y = (a1 -> b1) = (b ->  [a] -> b)
               = (b -> ([a] -> b))

所以我们可以得出结论：

a1 = b
b1 = [a] -> b

函数组合已经提供了两个函数参数，因此结果类型只是：

x -> w

但我们知道：

x = a -> b -> b
w = [a1] -> [b1] = [b] -> [[a] -> b]

所以，结果类型是：

(x -> w) = ((a -> b -> b) -> ([b] -> [[a] -> b]))
         =  (a -> b -> b) ->  [b] -> [[a] -> b]

这与以下内容一致：

(a1 -> a -> a) -> [a] -> [[a1] -> a]

Answer 3

map.foldr :: (a1 -> a -> a) -> [a] -> [[a1] -> a]

map :: (a1 -> b1) -> [a1] -> [b1]
(.) :: (y -> w) -> (x -> y) -> x -> w
foldr :: (a -> b -> b) -> b -> [a] -> b

-- if you substitute: x = (a -> b -> b)   y = (b -> [a] -> b)
-- then you get for map :: (b -> ([a] -> b)) -> [b] -> [[a] -> b]
-- so if composition operator applied:
map . foldr :: (a -> b -> b) -> [b] -> [[a] -> b]