地圖。 foldr函數組合 - Haskell

Question

所以，讓我們直截了當。

:t (map.foldr)
(map.foldr) :: (a1 -> a -> a) -> [a] -> [[a1] -> a]

什么是[[a1] - > a]？ 我真的想要理解這個構圖，所以我這樣做：

-- map.foldr

    map.foldr :: (a1 -> a -> a) -> [a] -> [[a1] -> a]

    map :: (a1 -> b1) -> [a1] -> [b1]
    (.) :: (y -> w) -> (x -> y) -> x -> w
    foldr :: (a -> b -> b) -> b -> [a] -> b

    y = (a1 -> b1)      w = ([a1] -> [b1])
    x = (a -> b -> b)   y = (b -> [a] -> b)

    y = (a1 -> b1)  
    y = (b -> [a] -> b)
_________________________

在這一點上會發生什么？ 謝謝！

Answer 1

要回答這個問題，最好回想一下foldr和map作用。

兩者中較為復雜的是foldr ，它有類型

--              list to be folded
--                              v
foldr :: (a -> b -> b) -> b -> [a] -> b
--             ^          ^
--folding function        terminal value

要折疊的列表實際上是一個conses鏈(:)和一個終端空列表：

1 : 2 : 3 : []

foldr的作用是分別用折疊函數和終值替換:和[]構造函數：

foldr (+) 0 (1 : 2 : 3 : []) == 1 + 2 + 3 + 0

---

map功能更簡單。 考慮它的一種方法是獲取函數和列表，並將函數應用於列表的每個參數：

map :: (a -> b) -> [a] -> [b]
--        ^         ^
-- function         list

但是，您也可以將其視為一個函數，並將其提升為一個對列表起作用的函數：

map :: (a -> b) -> ( [a] -> [b] )
--        ^              ^
-- function              function on lists

---

map . foldr這兩個函數是什么意思map . foldr map . foldr ？ 請注意，這只是一個接一個地應用這些功能 - 特別是

(map . foldr) f == map (foldr f)

因為你首先應用foldr ，你必須將它應用於函數f :: a -> b -> b ，然后你得到另一個函數：

foldr f :: b -> [a] -> b
--         ^     ^
--terminal val   list to be folded

現在您應用map ，它將提升函數以對列表執行操作：

map (foldr f) :: [b] -> [[a] -> b]
--                ^          ^
--list of terminal vals      functions that fold lists

這種類型看起來很奇怪，但它是有效的。 現在，不是單個終端值，而是給它一個終端值列表，然后返回折疊函數列表 - 每個終端值對應一個。

---

為了更清楚，我們可以查看具有類型的特定函數(+)

(+) :: Num a => a -> a -> a

如果我們將其替換為上面的等式，我們得到

(map . foldr) (+) :: Num a => [a] -> [[a] -> a]
--                             ^          ^
--         list of terminal vals          functions that fold lists

如果我們現在將它應用於列表[0, 1, 2]我們將得到三個函數的列表：

(map . foldr) (+) [0,1,2] :: Num a => [[a] -> a]

我們可以使用map ($x) idiom將列表中的每個函數應用於特定參數。 它必須是一個數字列表，我將選擇[3,4,5] 。 仔細觀察：

> map ($[3,4,5]) ((map.foldr) (+) [0,1,2])
[12, 13, 14]

使用(+)作為折疊函數將列表[3,4,5]折疊三次，並且每次使用不同的終值：

3 + 4 + 5 + 0 == 12
3 + 4 + 5 + 1 == 13
3 + 4 + 5 + 2 == 14

當終端值為0 ，我們只需得到值的總和： 3 + 4 + 5 == 12 。 當終值為1我們得到的值多於值的總和（ 13 ），當終值為2我們得到的值比值的總和（ 14 ）多兩個。

Answer 2

要從中斷的地方繼續， y的兩個定義必須相等：

y = (a1 -> b1) = (b ->  [a] -> b)
               = (b -> ([a] -> b))

所以我們可以得出結論：

a1 = b
b1 = [a] -> b

函數組合已經提供了兩個函數參數，因此結果類型只是：

x -> w

但我們知道：

x = a -> b -> b
w = [a1] -> [b1] = [b] -> [[a] -> b]

所以，結果類型是：

(x -> w) = ((a -> b -> b) -> ([b] -> [[a] -> b]))
         =  (a -> b -> b) ->  [b] -> [[a] -> b]

這與以下內容一致：

(a1 -> a -> a) -> [a] -> [[a1] -> a]

Answer 3

map.foldr :: (a1 -> a -> a) -> [a] -> [[a1] -> a]

map :: (a1 -> b1) -> [a1] -> [b1]
(.) :: (y -> w) -> (x -> y) -> x -> w
foldr :: (a -> b -> b) -> b -> [a] -> b

-- if you substitute: x = (a -> b -> b)   y = (b -> [a] -> b)
-- then you get for map :: (b -> ([a] -> b)) -> [b] -> [[a] -> b]
-- so if composition operator applied:
map . foldr :: (a -> b -> b) -> [b] -> [[a] -> b]