擬合微分方程：如何將一組數據擬合到R中的微分方程

Question

帶有數據集：

conc <- data.frame(time = c(0.16, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3), concentration = c(170, 122, 74, 45, 28, 17, 10))

我想將這些數據擬合到下面的微分方程中：

dC/dt= -kC

其中C是濃度，時間t是數據集中的時間。 這也將得出k的結果。 有人可以給我一個提示，以了解如何在R中執行此操作嗎？ 謝謝。

Answer 1

首先使用變量分離來求解微分方程。 這樣得出log（C）=-k * t + C0。

繪制數據：

plot(log(concentration) ~ time,data=conc)

擬合線性模型：

fit <- lm(log(concentration) ~ time,data=conc)
summary(fit)

# Coefficients:
#               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
# (Intercept)   5.299355   0.009787   541.4 4.08e-13 ***
#   time       -0.992208   0.005426  -182.9 9.28e-11 ***
#   ---
#   Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
# 
# Residual standard error: 0.01388 on 5 degrees of freedom
# Multiple R-squared: 0.9999,  Adjusted R-squared: 0.9998 
# F-statistic: 3.344e+04 on 1 and 5 DF,  p-value: 9.281e-11 

繪制預測值：

lines(predict(fit)~conc$time)

提取k：

k <- -coef(fit)[2]
#0.9922081

Answer 2

這可能是一個解決方案：

    require('deSolve')
conc <- data.frame(time <- c(0.16, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3), concentration <- c(170, 122, 74, 45, 28, 17, 10))

##"Model" with differential equation
model <- function(t, C, k){
  list(-k * C)
}

##Cost function with sum of squared residuals:
cost <- function(k){
  c.start <- 170
  out <- lsoda(c(C=c.start), conc$time, model, k)
  c <- sum( (conc$concentration - out[,"C"])^2)       
  c
}

##Initial value for k
k <- 3
##  Use some optimization procedure
opt <- optim(k, cost, method="Brent", lower=0, upper=10)

k.fitted <- opt$par

也許這有點天真，因為使用lsoda似乎對於只用一個微分方程進行計算來說有點過頭了……但是它肯定會優化您的k。 您可能要檢查積分的C起始值，我在此處將其設置為170，您是否沒有t = 0的值？