快速稀疏矩陣乘法

Question

對於類，我必須為稀疏矩陣編寫自己的線性方程求解器。 我可以自由地為稀疏矩陣使用任何類型的數據結構，我必須實現幾個解，包括共軛漸變。

我想知道是否有一種着名的方法來存儲稀疏矩陣，使得與向量的乘法相對較快。

現在我的稀疏矩陣基本上實現了一個包裝的std::map< std::pair<int, int>, double> ，它存儲數據（如果有的話）。 這將矩陣與向量的乘法轉換為O（n²）復雜度到O（n²log（n）），因為我必須對每個矩陣元素進行查找。 我查看了耶魯稀疏矩陣格式，似乎元素的檢索也在O（log（n））中，所以我不確定它是否會更快。

作為參考，我有一個800x800矩陣，填充了5000個條目。 使用共軛梯度法大約需要450秒來解決這樣的系統。

您認為使用其他數據結構可以更快地完成嗎？

謝謝！

Answer 1

最常見的選擇是CSC或CSR存儲 。 這些對於矩陣向量乘法都是有效的。 如果你必須自己編寫，那么編寫這些乘法例程也很容易。

也就是說，耶魯存儲也產生非常有效的矩陣向量乘法。 如果您正在執行矩陣元素查找，那么您誤解了如何使用該格式。 我建議你研究一些標准的稀疏庫來學習如何實現矩陣向量乘法。

即使使用當前存儲，您也可以執行O（n）復雜度的矩陣乘法。 我見過的所有稀疏矩陣向量乘法算法歸結為相同的步驟。 例如，考慮y = Ax。

1. 將結果向量歸零，y。
2. 初始化矩陣的非零元素的迭代器，A。
3. 得到矩陣的下一個非零元素，A [i，j]說。 請注意，i，j的模式不遵循常規模式。 它只是反映了存儲A的非零元素的順序。
4. y [i] + = A [i，j] * x [j]
5. 如果有更多A元素，請轉到3。

我懷疑你正在編寫經典的雙循環密集乘法代碼：

for (i=0; i<N; i++)
    for (j=0; j<N; j++)
        y[i] += A[i,j]*x[j]

這就是導致你執行查找的原因。

但我並不是說你堅持使用std::map存儲。 這不會超級高效。 我推薦CSC主要是因為它是使用最廣泛的。