數值求解非多項式方程

Question

我的方程式遇到問題，我想同時使用MATLAB和Symbolic Toolbox進行數值求解。 我一直在尋找MATLAB幫助的多個原始頁面，選擇了一些技巧並嘗試了其中的大多數技巧，但結果仍不令人滿意。

我的目標是求解具有q1 ， q2和q3角的三個非多項式方程組。 這些變量代表我的工業機械手中的關節角度，而我試圖實現的是解決該模型的逆運動學問題。 我的方程組如下所示： http : //imgur.com/bU6XjNP

我正在解決

numeric::solve([z1,z2,z3], [q1=x1..x2,q2=x3..x4,q3=x5..x6], MultiSolutions)

根據我的需要更改xn常數。 但是我仍然得到一些奇怪的結果， q1 var偏離大約0.1 rad， q2和q3偏離〜0.01 rad。 我沒有數值求解的豐富經驗，所以我只需要信息，應該看起來像這樣嗎？

而且，如果沒有，您建議我接下來采取什么有效的選擇？ 也許使用不同的工具箱將此方程式轉換為多項式？

或者，如果嘗試在Matlab中執行此操作，那么在使用resolve（）時如何限制解決方案？ 我正在考慮一個等效於Symbolic Toolbox的assumeAlso assume()和assume() assumeAlso 。

謝謝您的幫助。

Answer 1

非線性方程組的數值解通常被視為迭代最小化過程，該迭代最小化過程涉及方程式左右手邊之差的范數的最小化（即，找到全局最小值）。 例如， fsolve本質上使用牛頓迭代。 這些方法執行“確定性”優化：它們從初始猜測開始，然后基本上根據梯度的相反方向在未知空間中移動，直到找不到解。

然后，您遇到兩種問題：

局部極小值 ：迭代的停止規則與函數的梯度有關。 當梯度變小時，迭代將停止。 但是，除了所需的全局梯度之外，與局部最小值相對應的梯度可能變小。 當最初的猜測離實際解決方案很遠時，您就會陷入一個錯誤的解決方案中。

病態 ：未知數的大變化可以反映為數據的大變化。 因此，數據上的小數值誤差（例如，機器取整）會導致未知數的較大變化。

由於上述問題，您的數值算法找到的解可能會與實際解不同（甚至相關）。

我建議您通過選擇一個開始猜測來進行一致性測試，例如，在使用fsolve ，應非常接近實際解決方案，並驗證最終結果是否正確。 然后，您會發現，通過使初始猜測距離實際解決方案更遠，您的結果可能會顯示一些（甚至很大）錯誤。 當然，誤差的實體取決於方程組的性質。 在某些幸運的情況下，這些錯誤也可以保持很小的比例。