找到B +樹的中位數

Question

我需要實現一個B +樹。

我需要創建以下方法：

1. 插入（x） - 0（log_t（x））。
2. 搜索 - 成功搜索 - O（log_t（x））。 不成功的搜索 - O（1）{有很高的可能性}

所以我開始實現Insert（x） - 每次我有一個完整的葉子，我想把它分成兩個分開的葉子。 一個鍵的鍵等於或低於中值鍵，第二個鍵將包含值高於中值的鍵。

如何在不損害運行時間的情況下找到此中位數？

我想過：

1. 將每個內部節點和葉子表示為較小的B +樹，但只有當樹完全平衡時，中位數才是根（或根中的一個元素）。
2. 將每個內部節點和葉子表示為雙向鏈表。 並且在插入輸入時嘗試獲取中值鍵，但是輸入不適用於它。
3. 表示為數組可能會給我中間，但是當我將其拆分時，我需要至少O（n / 2）將鍵插入到新數組中。

我能做什么？

關於搜索，想法明智：成功和不成功搜索之間的區別在於在葉子中搜索，但我仍然需要通過樹的不同鍵“運行”以確定密鑰是否在樹中。 那怎么可能是O（1）？

Answer 1

在B +樹中，所有值都存儲在葉子中。

請注意，您可以將每個葉子的指針添加到下一個葉子，除了標准B +樹之外，您還可以獲得包含所有元素的有序鏈接列表 。

現在，請注意，假設您知道此鏈接列表中的當前中位數是什么 - 在插入/刪除時，您可以便宜地計算新的中位數 （它可以是相同的節點，下一個節點或前一個節點，沒有其他選擇）。
請注意，修改此指針是O(1) （盡管插入/刪除本身是O(logn) 。

鑒於這些知識 - 可以緩存指向中值元素的指針，並確保在刪除/插入時保留它。 當你要求中位數時 - 只需從緩存中取中位數 - O(1) 。

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關於Unsuccessful search - O(1) {With a high likely-hood} - 這個是尖叫blo bloom過濾器 ，這是一個概率集實現，從來沒有假陰性（從來沒有說過某些東西沒有設置），但是一些誤報（說某些東西在緩存中，而事實上並非如此）。

Answer 2

你不需要B + -tree的中位數。 您需要在要拆分的節點中使用中值鍵。 您必須在該中位數處進行拆分以滿足每個節點具有N / 2 <= n <= N個鍵的條件。 節點中的中間密鑰只是中間的密鑰， n / 2 ，其中n是節點中實際密鑰的數量。 這就是你拆分節點的地方。 計算是O（1）：它不會傷害運行時。

在不疊加其他數據結構的情況下，您無法從B +樹獲得O（1）搜索失敗時間。

Answer 3

我已經發布了一個答案（並且已經刪除了），但我可能會誤解，所以這里有另一種解釋的答案......

如果您需要始終知道哪個項目是完整 B +樹容器中的中位數，該怎么辦？

正如amit所說，你可以將指針（以及你的根指針）保存到包含中位數的當前葉節點。 您還可以在該葉節點中保留索引。 因此，您可以通過直接跟蹤到正確的節點和項目來獲得O（1）訪問權限。

問題在於維持這一點。 當然amit是正確的，對於每個插入，中位數也必須保持相同的項目，或者必須步驟到之前或之后的那個。 如果您通過葉節點有一個鏈表，即使這意味着步進到相鄰的葉節點，也可以有效地處理。

但是，我不相信，確定是否或采用哪種方式都是微不足道的，除非在中位數和插入恰好位於同一葉節點的特殊情況下。

如果您知道完整樹的大小（可以使用根指針輕松存儲和維護），則至少可以確定插入前后中間項應該在哪個索引處。

但是，如果插入點位於中位數之前或之后，您需要知道先前的中位數項是否已將其指數向上移動。 除非插入點和中位數碰巧在同一節點中，否則這是一個問題。

Overkill方式 - 擴充B +樹以支持計算項目的索引並搜索索引。 其訣竅是每個節點保留其子樹的葉節點中的項目總數。 這可以推高一個級別，因此每個分支節點都有一個子樹大小數組及其子節點指針數組。

這提供了兩種解決方案 您可以使用該信息在搜索時確定插入點的索引，或者（提供節點具有父指針）您可以使用它來重新確定插入后的上一個中間項的索引。

[實際上是三個。 插入后，你可以根據新的大小搜索新的中途索引而不參考前面的中間鏈接。]

然而，就存儲用於增強的數據而言，這結果是過度的。 您不需要知道插入點的索引或先前的中位數 - 您可以知道插入的中位數的哪一側。 如果您知道要從根到中間項的跟蹤，您應該能夠在搜索插入點時跟蹤它的哪一側。 因此，您只需要增加足夠的信息來查找和維護該蹤跡。