如何確定直線與圓的交點？

Question

我在圓內有一個點，在圓外有另一個點。 我想找到線與圓相交的點。 我怎么能在 Windows Phone 8 中做到這一點。請給我任何想法。

Answer 1

這是一個既簡單又復雜的問題，很大程度上取決於您的意思。 我從你的開篇文章中得知你在談論線段而不是真正的（無限）線。

在這種情況下，您有幾個案例需要解決。 只有一點在圓內，一點在圓外時，才會發生相交。 下面的算法沒有捕捉到以下情況

1. 該線與圓相切
2. 一個或兩個點正好在圓上
3. 線在兩點相交

這些被歸入“無交集”結果。 這僅處理嚴格在圓內一點和圓外一點的情況。

首先你需要一些輔助功能。 這些使用基本幾何來確定點是在圓內還是圓外（圓上的點算作“外”），以及兩點是否形成與圓相交的線段。

private bool IsInsideCircle(Point CirclePos, float CircleRad, Point checkPoint)
{
    if (Math.Sqrt(Math.Pow((CirclePos.X - checkPoint.X), 2) +
                  Math.Pow((CirclePos.Y - checkPoint.Y), 2)) < CircleRad)
    { return true; } else return false;
}

private bool IsIntersecting(Point CirclePos, float CircleRad, Point LineStart, 
                                                              Point LineEnd)
{
    if (IsInsideCircle(CirclePos, CircleRad, LineStart) ^
        IsInsideCircle(CirclePos, CircleRad, LineEnd)) 
    { return true; } else return false;
}

請注意^ （異或）的使用 - 我們希望精確地在里面一點，在外面一點。

有了這個，我們可以處理更大的功能：

private int Intersect (Point CirclePos, float CircleRad, 
                       Point LineStart, Point LineEnd, ref Point Intersection)
{
    if (IsIntersecting(CirclePos, CircleRad, LineStart, LineEnd)) 
    {
        //Calculate terms of the linear and quadratic equations
        var M = (LineEnd.Y - LineStart.Y) / (LineEnd.X - LineStart.X);
        var B = LineStart.Y - M * LineStart.X;
        var a = 1 + M*M;
        var b = 2 * (M*B - M*CirclePos.Y - CirclePos.X);
        var c = CirclePos.X * CirclePos.X + B * B +  CirclePos.Y * CirclePos.Y -
                CircleRad * CircleRad - 2 * B * CirclePos.Y;
        // solve quadratic equation
        var sqRtTerm = Math.Sqrt(b * b - 4 * a * c);
        var x = ((-b) + sqRtTerm)/(2*a);
        // make sure we have the correct root for our line segment
       if ((x < Math.Min(LineStart.X, LineEnd.X) || 
          (x > Math.Max(LineStart.X, LineEnd.X)))) 
        { x = ((-b) - sqRtTerm) / (2 * a); }
        //solve for the y-component
        var y = M * x + B;
        // Intersection Calculated
        Intersection = new Point(x, y);
        return 0;
    } else {
        // Line segment does not intersect at one point.  It is either 
        // fully outside, fully inside, intersects at two points, is 
        // tangential to, or one or more points is exactly on the 
        // circle radius.
        Intersection = new Point(0, 0);
        return -1;
    }            
}

此函數將交點作為ref參數並返回-1 （無交點）或0 （找到交點）。 如果您想擴展它以區分邊緣情況，我使用了int返回值。 交點是從基本幾何計算的 - 請記住，一條線表示為（請參閱：斜率截距和點斜率表格）

• y = M*x + B

和一個圓（以(Cx, Cy)為中心，半徑為r ）是

• (x - Cx)^2 + (y - Cy)^2 - r^2 = 0

您可以通過替換來解決這個方程組：

• (x - Cx)^2 + ((M*x + B) - Cy)^2 - r^2 = 0

擴展和收集您得到的術語：

• (1+M^2)x^2 + 2*(M B - M C.y - Cx)x + (Cx^2 + Cy^2 + B^2 - r^2 - 2B*Cy) = 0

這是形式的標准二次方程

• ax^2 + bx + c = 0
• 在哪里 ：
• a = (1+M^2)
• b = 2*(M B - M C.y - Cx)
• c = (Cx^2 + Cy^2 + B^2 - r^2 - 2B*Cy)

這可以通過二次公式解決（參見： 二次公式）：

• x = (-b ± Sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)

這為我們的線段所在的無限線提供了兩個根——我們在上面做了最后的檢查，以確保我們為我們的特定線段選擇了解決方案。

這就是為什么在數學課上專心很重要！

現在......取決於你在做什么，有很多方法可以優化它。 上面的解決方案概述了基本方法，但如果需要，當然還有空間可以更快地執行此操作。 顯然，還可以將參數調整為您使用的任何類型的點或對象。 我試圖使它盡可能通用。

此外，為了展示如何調用它的示例：

Point iPt = new Point();

var rslt = Intersect(new Point(2,3), 5.0f, new Point(2,2), 
                     new Point(8,6), ref iPt);

if (rslt == 0) {
    MessageBox.Show(String.Format("Intersection at: x = {0}, y = {1}",
                                   iPt.X, iPt.Y));
} 
else {
    MessageBox.Show("No Intersection");
}

Answer 2

數學上有一個小錯別字。 c# 代碼沒問題。

... r^2 - B*Cy) = 0

應該

... r^2 - 2B*Cy) = 0

還有 c = (Cx^2 + Cy^2 + B^2 - r^2 - 2B*Cy)