集合中互斥項的子集

Question

我設置了S_0, ..., S_N 。 如何找到最大子集T ，使得T和S_i的交點I_i （對於每個0 <= i <= N）最多包含一個元素。

我對此有一個解決方案，但是我猜測它的速度不必要地慢（本質上是幾個嵌套的for循環嘗試所有組合）。 所以我的問題是：

• 是否有針對此問題的有效算法？
• 如果不是，是否有找到大子集T的有效算法？

Answer 1

我認為您不太可能找到解決此問題的有效通用算法，因為我認為它是NP完整的。

如果您有一個有效的算法來解決這個問題，那么您可以解決最大獨立集問題 。

證明草圖

假設您有一個圖，然后為每個邊構造一個包含{i，j}的集合，其中i和j是由邊連接的頂點。

然后，這些集合的最大子集T將是圖形的最大獨立集合。

轉換為最大獨立集

更有用的是，當且僅當存在同時包含a和b的圖集時，您還可以通過為圖找到一個最大的獨立圖集來表達問題，其中a和b之間存在邊。

然后，您可以使用一些標准求解器來解決最大的獨立集問題，例如Pythons NetworkX中的那個。

Answer 2

您可以通過緩存集合S_a和S_b的交集是否為空來加速程序。 而不是建立集合T ，我認為它是S中某些集合的並集。 您保留一個集合索引的列表T ，並檢查集合S_n是否與T相交，請檢查表中是否存在S_n與其中一個相交的T中的集合。

我在我的一個Python程序中執行了此操作，因為設置交集測試很慢。